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时间:2018-12-24
《高考数学(人教版a版)一轮配套题库:2-4函数的奇偶性与周期性》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第四节 函数的奇偶性与周期性时间:45分钟 分值:75分一、选择题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)1.(2013·北京卷)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是( )A.y=B.y=e-xC.y=-x2+1D.y=lg
2、x
3、解析 y=是奇函数,选项A错;y=e-x是指数函数,非奇非偶,选项B错;y=lg
4、x
5、是偶函数,但在(0,+∞)上单调递增,选项D错;只有选项C是偶函数且在(0,+∞)上单调递减.答案 C2.(2013·湖南卷)已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则g(1)等于
6、( )A.4B.3C.2D.1解析 由已知可得,-f(1)+g(1)=2,f(1)+g(1)=4,两式相加解得,g(1)=3,故选B.答案 B3.已知f(x)在R上是奇函数,且满足f(x+4)=f(x),当x∈(0,2)时,f(x)=2x2,则f(7)等于( )A.-2B.2C.-98D.98解析 ∵f(x+4)=f(x),∴f(x)是周期为4的函数.∴f(7)=f(2×4-1)=f(-1).又∵f(x)在R上是奇函数,∴f(-x)=-f(x).∴f(-1)=-f(1).而当x∈(0,2)时,f(x)=2x2,∴f(1)=2×12=2.∴f(7)=f(-1)=-
7、f(1)=-2.故选A.答案 A4.(2013·湖北卷)x为实数,[x]表示不超过x的最大整数,则函数f(x)=x-[x]在R上为( )A.奇函数B.偶函数C.增函数D.周期函数解析 当x∈[0,1)时,画出函数图象(图略),再左右扩展知f(x)为周期函数.故选D.答案 D5.若函数f(x)=为奇函数,则a=( )A.B.C.D.1解析 ∵f(x)=是奇函数,∴f(-1)=-f(1).∴=-.∴a+1=3(1-a),解得a=.答案 A6.设f(x)是奇函数,且在(0,+∞)内是增函数,又f(-3)=0,则x·f(x)<0的解集是( )A.{x
8、-39、x>3}B.{x10、x<-3,或011、x<-3,或x>3}D.{x12、-313、-314、解析 因为f(x)是偶函数,所以恒有f(-x)=f(x),即-x(e-x+aex)=x(ex+ae-x),化简得x(e-x+ex)(a+1)=0.因为上式对任意实数x都成立,所以a=-1.答案 -19.(2013·安徽卷)定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x).若当0≤x≤1时,f(x)=x(1-x),则当-1≤x≤0时,f(x)=________.解析 当-1≤x≤0时,有0≤x+1≤1,所以f(1+x)=(1+x)[1-(1+x)]=-x(1+x),又f(x+1)=2f(x),所以f(x)=f(1+x)=-.答案 -三、解答题(本大题共3小题,每小15、题10分,共30分)10.已知函数f(x)=x2+(x≠0).(1)判断f(x)的奇偶性,并说明理由;(2)若f(1)=2,试判断f(x)在[2,+∞)上的单调性.解 (1)当a=0时,f(x)=x2,f(-x)=f(x),函数是偶函数.当a≠0时,f(x)=x2+(x≠0),取x=±1,得f(-1)+f(1)=2≠0;f(-1)-f(1)=-2a≠0,∴f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1).∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(2)若f(1)=2,即1+a=2,解得a=1,这时f(x)=x2+.任取x1,x2∈[2,+∞),且x116、f(x2)=-=(x1+x2)(x1-x2)+=(x1-x2).由于x1≥2,x2≥2,且x1,所以f(x1)
9、x>3}B.{x
10、x<-3,或011、x<-3,或x>3}D.{x12、-313、-314、解析 因为f(x)是偶函数,所以恒有f(-x)=f(x),即-x(e-x+aex)=x(ex+ae-x),化简得x(e-x+ex)(a+1)=0.因为上式对任意实数x都成立,所以a=-1.答案 -19.(2013·安徽卷)定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x).若当0≤x≤1时,f(x)=x(1-x),则当-1≤x≤0时,f(x)=________.解析 当-1≤x≤0时,有0≤x+1≤1,所以f(1+x)=(1+x)[1-(1+x)]=-x(1+x),又f(x+1)=2f(x),所以f(x)=f(1+x)=-.答案 -三、解答题(本大题共3小题,每小15、题10分,共30分)10.已知函数f(x)=x2+(x≠0).(1)判断f(x)的奇偶性,并说明理由;(2)若f(1)=2,试判断f(x)在[2,+∞)上的单调性.解 (1)当a=0时,f(x)=x2,f(-x)=f(x),函数是偶函数.当a≠0时,f(x)=x2+(x≠0),取x=±1,得f(-1)+f(1)=2≠0;f(-1)-f(1)=-2a≠0,∴f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1).∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(2)若f(1)=2,即1+a=2,解得a=1,这时f(x)=x2+.任取x1,x2∈[2,+∞),且x116、f(x2)=-=(x1+x2)(x1-x2)+=(x1-x2).由于x1≥2,x2≥2,且x1,所以f(x1)
11、x<-3,或x>3}D.{x
12、-313、-314、解析 因为f(x)是偶函数,所以恒有f(-x)=f(x),即-x(e-x+aex)=x(ex+ae-x),化简得x(e-x+ex)(a+1)=0.因为上式对任意实数x都成立,所以a=-1.答案 -19.(2013·安徽卷)定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x).若当0≤x≤1时,f(x)=x(1-x),则当-1≤x≤0时,f(x)=________.解析 当-1≤x≤0时,有0≤x+1≤1,所以f(1+x)=(1+x)[1-(1+x)]=-x(1+x),又f(x+1)=2f(x),所以f(x)=f(1+x)=-.答案 -三、解答题(本大题共3小题,每小15、题10分,共30分)10.已知函数f(x)=x2+(x≠0).(1)判断f(x)的奇偶性,并说明理由;(2)若f(1)=2,试判断f(x)在[2,+∞)上的单调性.解 (1)当a=0时,f(x)=x2,f(-x)=f(x),函数是偶函数.当a≠0时,f(x)=x2+(x≠0),取x=±1,得f(-1)+f(1)=2≠0;f(-1)-f(1)=-2a≠0,∴f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1).∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(2)若f(1)=2,即1+a=2,解得a=1,这时f(x)=x2+.任取x1,x2∈[2,+∞),且x116、f(x2)=-=(x1+x2)(x1-x2)+=(x1-x2).由于x1≥2,x2≥2,且x1,所以f(x1)
13、-314、解析 因为f(x)是偶函数,所以恒有f(-x)=f(x),即-x(e-x+aex)=x(ex+ae-x),化简得x(e-x+ex)(a+1)=0.因为上式对任意实数x都成立,所以a=-1.答案 -19.(2013·安徽卷)定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x).若当0≤x≤1时,f(x)=x(1-x),则当-1≤x≤0时,f(x)=________.解析 当-1≤x≤0时,有0≤x+1≤1,所以f(1+x)=(1+x)[1-(1+x)]=-x(1+x),又f(x+1)=2f(x),所以f(x)=f(1+x)=-.答案 -三、解答题(本大题共3小题,每小15、题10分,共30分)10.已知函数f(x)=x2+(x≠0).(1)判断f(x)的奇偶性,并说明理由;(2)若f(1)=2,试判断f(x)在[2,+∞)上的单调性.解 (1)当a=0时,f(x)=x2,f(-x)=f(x),函数是偶函数.当a≠0时,f(x)=x2+(x≠0),取x=±1,得f(-1)+f(1)=2≠0;f(-1)-f(1)=-2a≠0,∴f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1).∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(2)若f(1)=2,即1+a=2,解得a=1,这时f(x)=x2+.任取x1,x2∈[2,+∞),且x116、f(x2)=-=(x1+x2)(x1-x2)+=(x1-x2).由于x1≥2,x2≥2,且x1,所以f(x1)
14、解析 因为f(x)是偶函数,所以恒有f(-x)=f(x),即-x(e-x+aex)=x(ex+ae-x),化简得x(e-x+ex)(a+1)=0.因为上式对任意实数x都成立,所以a=-1.答案 -19.(2013·安徽卷)定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x).若当0≤x≤1时,f(x)=x(1-x),则当-1≤x≤0时,f(x)=________.解析 当-1≤x≤0时,有0≤x+1≤1,所以f(1+x)=(1+x)[1-(1+x)]=-x(1+x),又f(x+1)=2f(x),所以f(x)=f(1+x)=-.答案 -三、解答题(本大题共3小题,每小
15、题10分,共30分)10.已知函数f(x)=x2+(x≠0).(1)判断f(x)的奇偶性,并说明理由;(2)若f(1)=2,试判断f(x)在[2,+∞)上的单调性.解 (1)当a=0时,f(x)=x2,f(-x)=f(x),函数是偶函数.当a≠0时,f(x)=x2+(x≠0),取x=±1,得f(-1)+f(1)=2≠0;f(-1)-f(1)=-2a≠0,∴f(-1)≠-f(1),f(-1)≠f(1).∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(2)若f(1)=2,即1+a=2,解得a=1,这时f(x)=x2+.任取x1,x2∈[2,+∞),且x116、f(x2)=-=(x1+x2)(x1-x2)+=(x1-x2).由于x1≥2,x2≥2,且x1,所以f(x1)
16、f(x2)=-=(x1+x2)(x1-x2)+=(x1-x2).由于x1≥2,x2≥2,且x1,所以f(x1)
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