高考数学(人教版a版)一轮配套题库：2-4函数的奇偶性与周期性

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1、第四节　函数的奇偶性与周期性时间：45分钟　分值：75分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．(2013·北京卷)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是(　　)A．y＝B．y＝e－xC．y＝－x2＋1D．y＝lg

2、x

3、解析　y＝是奇函数，选项A错；y＝e－x是指数函数，非奇非偶，选项B错；y＝lg

4、x

5、是偶函数，但在(0，＋∞)上单调递增，选项D错；只有选项C是偶函数且在(0，＋∞)上单调递减．答案　C2．(2013·湖南卷)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(－1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(－1)＝4，则g(1)等于

6、(　　)A．4B．3C．2D．1解析　由已知可得，－f(1)＋g(1)＝2，f(1)＋g(1)＝4，两式相加解得，g(1)＝3，故选B.答案　B3．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)等于(　　)A．－2B．2C．－98D．98解析　∵f(x＋4)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的函数．∴f(7)＝f(2×4－1)＝f(－1)．又∵f(x)在R上是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(－1)＝－f(1)．而当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，∴f(1)＝2×12＝2.∴f(7)＝f(－1)＝－

7、f(1)＝－2.故选A.答案　A4．(2013·湖北卷)x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f(x)＝x－[x]在R上为(　　)A．奇函数B．偶函数C．增函数D．周期函数解析　当x∈[0,1)时，画出函数图象(图略)，再左右扩展知f(x)为周期函数．故选D.答案　D5．若函数f(x)＝为奇函数，则a＝(　　)A.B.C.D．1解析　∵f(x)＝是奇函数，∴f(－1)＝－f(1)．∴＝－.∴a＋1＝3(1－a)，解得a＝.答案　A6．设f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(－3)＝0，则x·f(x)<0的解集是(　　)A．{x

8、－3

9、x>3}B．{x

10、x<－3，或0

11、x<－3，或x>3}D．{x

12、－3

13、－3

14、解析　因为f(x)是偶函数，所以恒有f(－x)＝f(x)，即－x(e－x＋aex)＝x(ex＋ae－x)，化简得x(e－x＋ex)(a＋1)＝0.因为上式对任意实数x都成立，所以a＝－1.答案　－19．(2013·安徽卷)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________.解析　当－1≤x≤0时，有0≤x＋1≤1，所以f(1＋x)＝(1＋x)[1－(1＋x)]＝－x(1＋x)，又f(x＋1)＝2f(x)，所以f(x)＝f(1＋x)＝－.答案　－三、解答题(本大题共3小题，每小

15、题10分，共30分)10．已知函数f(x)＝x2＋(x≠0)．(1)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若f(1)＝2，试判断f(x)在[2，＋∞)上的单调性．解　(1)当a＝0时，f(x)＝x2，f(－x)＝f(x)，函数是偶函数．当a≠0时，f(x)＝x2＋(x≠0)，取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0；f(－1)－f(1)＝－2a≠0，∴f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)．∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(2)若f(1)＝2，即1＋a＝2，解得a＝1，这时f(x)＝x2＋.任取x1，x2∈[2，＋∞)，且x1

16、f(x2)＝－＝(x1＋x2)(x1－x2)＋＝(x1－x2).由于x1≥2，x2≥2，且x1，所以f(x1)