全国中等职业技术学校通用教材_数学(上)-3

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1、第3章三角函数3.1角的概念推广3.2任意角的三角函数3.3三角函数的图像和性质3.1角的概念推广完成“将这扇门打开60°”的动作有两种选择。你能否找出一种简明的方法区分出开门的方向？假设目前的准确时间是8:45，左图里挂钟显示的时间（10:15）快了一个半小时．要校准此钟，必须将分针（长针）往回拨一圈半。分针被拨动一圈的时候，它被拨动的角度是多少？再拨半圈，分针又转过多少度？从开始拨动到完成校准，分针被拨动的角度一共是多少？角的概念推广在平面内一条射线绕它的端点O从位置OA旋转到任意位置OB形成的图形称为角。射线的端点O称为角的顶点。射线在旋转的初始位置OA称为角的始边，射线在旋转的终止位置

2、OB称为角的终边。角常用小写希腊字母α、β、γ…示。一个角的大小可以超过360°。为了表达准确，我们在画一个角的时候，不仅要表示出旋转方向，而且要把形成这个角的旋转过程表示出来。按逆时针方向旋转形成的角称为正角；按顺时针方向旋转形成的角称为负角；当一条射线不旋转时，我们也认为它形成了一个角，称为零角。1．时钟从3点走到3点15分，分针旋转了多少度？2．当把手表倒拨（逆时针）1小时20分钟，分针旋转了多少度？3．分别画出以下各角：150°、420°、750°、－120°、－390°。象限角与终边相同的角在平面直角坐标系xOy中，把角的顶点放在原点O的位置上，让角的始边与x轴的正半轴重合，这时角的

3、终边落在坐标系中的第几象限，就说这个角是第几象限角。比如，45°角是第一象限角；－240°角是第二象限角；585°角是第三象限角；300°角是第四象限角。如果一个角的终边落在坐标轴上，就说这个角是轴线角。例如，90°、－180°角都是轴线角。在0°～360°范围内，各象限角的范围如下：α(0°,90°)(90°,180°)(180°,270°)(270°,360°)象限一二三四在0°～360°范围内，各轴线角的大小如下：角度0°90°180°270°位置x正半轴y正半轴x负半轴y负半轴思考在同一坐标系中观察下面角的共同点？30°、390°、750°、－330°、－690°通过观察可以发现，这些

4、角的终边位置是相同的。我们把它们称为是与30°终边相同的角。很显然，与30°终边相同的角有无限多个。30°＝30°＋0×360°390°＝30°＋1×360°750°＝30°＋2×360°－330°＝30°＋（－1）×360°－390°＝30°＋（－2）×360°这样我们可以得到与30°角终边相同的角（含30°在内）的一般表达式为β＝30°＋k·360°，k∈Z由此推广，轴线角的一般表达式如下终边位置一般表达式x轴的正半轴β＝k·360°(k∈Z)x轴的负半轴β＝180°＋k·360°(k∈Z)x轴β＝k·180°(k∈Z)y轴的正半轴β＝90°＋k·360°(k∈Z)y轴的负半轴β＝270°

5、＋k·360°(k∈Z)y轴β＝90°＋k·180°(k∈Z)由此推广，与α角终边相同的角（含α角在内）的一般表达式是：β＝α＋k·360°，k∈Z例题解析例下列各角中哪些角与40°的角终边相同?390°、400°、–320°、320°解因为390°＝30°＋360°400°＝40°＋360°–320°＝40°－360°320°＝－40°＋360°所以400°、–320°角与40°角终边相同（400°、－320°与40°的差值正好是360°的整数倍）；而390°、320°角与40°角终边不相同（390°、320°与40°的差值不是360°的整数倍）。单击鼠标继续1．下列各角是第几象限角？（如果

6、是轴线角也请说明）30°、120°、180°、260°、300°、360°、390°、450°、－30°、－90°、－120°、－180°、－230°、－330°。2．下列各角中哪些角与80°的角终边相同？440°、－280°、280°、400°。弧度我们规定，长度等于半径的圆弧对应的圆心角为1弧度。弧度的单位符号是rad。根据以上规定，在半径为r的圆中，长度为l的圆弧对应的圆心角α的大小是，即例如，圆周的长度是2πr，它对应的圆心角的大小是因为圆周角用角度表示为360°，所以可得出360°=2πrad由此推广，可进行如下换算：例题解析例1用弧度表示下列各角的大小：60°、120°、－60°、

7、－270°解单击鼠标继续例2用角度表示下列各角的大小：2.5、、、解单击鼠标继续例3求图中公路弯道处弧AB的长l。（单位：m，结果保留整数）解由图示可知：r＝48，。由圆心角公式，得所以弯道处AB的长约为50m。l＝

8、α

9、·r＝×48≈50m单击鼠标继续下表列出了一些特殊角的度数与弧度数的对应关系度数0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0采用弧度制后，与