第八章第2讲知能训练轻松闯关

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1、1．已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是________．解析：由题意得，点到直线的距离为＝.又≤3，即

2、15－3a

3、≤15，解得，0≤a≤10，所以a∈[0,10]．答案：[0,10]2．若直线l1：ax＋2y＝0和直线l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0垂直，则实数a的值为________．解析：由2a＋2(a＋1)＝0得a＝－.答案：－3．直线l经过两直线7x＋5y－24＝0和x－y＝0的交点，且过点(5,1)，则l的方程是________．解析：设l的方程为7x＋5y－24＋λ(x－y)＝0，即(7＋λ)·x

4、＋(5－λ)y－24＝0，则(7＋λ)×5＋5－λ－24＝0.解得λ＝－4.故l的方程为x＋3y－8＝0.答案：x＋3y－8＝04．点(a，b)关于直线x＋y＋1＝0的对称点是________．解析：设对称点为(x′，y′)，则解得x′＝－b－1，y′＝－a－1.答案：(－b－1，－a－1)5．与直线4x＋3y－5＝0平行，并且到它的距离等于3的直线方程是________．解析：设所求直线方程为4x＋3y＋m＝0，由3＝，得m＝10或－20.故所求直线方程为4x＋3y＋10＝0或4x＋3y－20＝0.答案：4x＋3y＋10＝0或4x＋3y－20＝06

5、．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的__________条件．解析：由a＝1，可得l1∥l2；反之，由l1∥l2，可得a＝1或a＝－2.答案：充分不必要7．已知坐标平面内两点A(x，－x)和B，那么这两点之间距离的最小值是________．解析：d＝＝≥.即最小值为.答案：8．曲线－＝1与直线y＝2x＋m有两个交点，则m的取值范围是________．解析：曲线－＝1的草图如图所示，与直线y＝2x＋m有两个交点，则m>4或m<－4.答案：m>4或m<－49．点P到点A(1,0)和直线x＝－

6、1的距离相等，且点P到直线y＝x的距离为，这样的点P的个数是________．解析：因为点P到点A和定直线距离相等，所以P点轨迹为抛物线，方程为y2＝4x.设P(t2,2t)，则＝，解得t1＝1，t2＝1＋，t3＝1－，故P点有三个．答案：310．在直角坐标系中，A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后，再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是________．解析：如图，设点P关于直线AB，y轴的对称点分别为D，C，易求得D(4,2)，C(－2,0)，由对称性知，D，M，N，C共线，则△P

7、MN的周长＝PM＋MN＋PN＝DM＋MN＋NC＝CD＝＝2，2即为光线所经过的路程．答案：211．已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值．(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与l2垂直；(2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．解：(1)因为l1⊥l2，所以a(a－1)＋(－b)·1＝0，即a2－a－b＝0.①又点(－3，－1)在l1上，所以－3a＋b＋4＝0.②由①②得a＝2，b＝2.(2)因为l1∥l2，所以＝1－a，b＝，故l1和l2的方程可分别表示

8、为：(a－1)x＋y＋＝0，(a－1)x＋y＋＝0，又原点到l1与l2的距离相等．所以4＝，所以a＝2或a＝，所以a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.12．已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，在坐标平面内求一点P，使PA＝PB，且点P到直线l的距离为2.解：设点P的坐标为(a，b)．因为A(4，－3)，B(2，－1)，所以线段AB的中点M的坐标为(3，－2)．而AB的斜率kAB＝＝－1，所以线段AB的垂直平分线方程为y＋2＝x－3，即x－y－5＝0.因为点P(a，b)在直线x－y－5＝0上，所以a－b－5＝0.①又点P(a，b

9、)到直线l：4x＋3y－2＝0的距离为2，所以＝2，即4a＋3b－2＝±10，②由①②联立可得或所以所求点P的坐标为(1，－4)或.1．与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程为________．解析：与直线3x－4y＋5＝0关于x轴对称的直线方程是3x－4(－y)＋5＝0，即3x＋4y＋5＝0.答案：3x＋4y＋5＝02．已知平面内两点A(1,2)，B(3,1)到直线l的距离分别是，－，则满足条件的直线l的条数为________．解析：由题可知，到A点距离为的点均在以A为圆心，为半径的圆O1上，到B点距离为－的点均在以B为圆心，－为半径的圆O

10、2上，故直线l为⊙O1和⊙O2的公切线，而显然⊙O1，⊙O2外切，故公切线有3条．答案：33．设A，B是x轴