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1、•△ABC、ACDE均为等边三角形•求证：①AD二BE②PQ〃BD③Z1=Z2BCD解：1)VAABC与ACDE均为等边三角形，.•.ZACB=ZECD=60°,ZACE=180°-60°-60°=60°在ABCE与AACD中，有BC=AC,CE二CD,ZBCE=ZACD=120°•••△BCE竺△ACD(SAS)・・・AD二BE.2)VABCE^AACD・•・ZPEC=ZQDC在APEC与中，还有ZPCE二ZQCD二60°,CE=CD,•••△PEC竺△QDC(ASA)・•・PC=QC又ZPCQ=60°•••△PCQ为等边
2、三角形・・・ZPQC二60。=ZQCD・・・PQ〃BD・3)设ZFCE=a在BP上取一点R,使ZPCR=a则在ZRCE与ZFCD中，CE二CD,ZCER二ZCDF,ZRCE=ZECD=60°+aAARCE^AFCD(ASA)・・・CR=CF,ZCRE=ZCFD=Z2乂可由CR=CF得，ZCRE二Z1AZ1=Z2.2.AABC为等腰Rt三角形，ZC=90°,ZCAD=30°,AC=BC=AD.求证：BD=CD解：方法一:将D点沿AB翻折得E,连接AE、DE、CE,贝叽ZEAB=ZDAB,AE=ADTZCAB二45°,ZCA
3、D=30°・・・ZDAB二15°,ZEAB二15。AZCAE=45°+15°二60°由已知AD二AC可得AE二AC,・・・AAEC为等边三角形.【有一个角为60。的等腰三角形为等边三角形】:.ZACE二ZAEC二60°在AACD与AAED中，ZEAD=15°+15°=30°二ZCAD,AD=AD,AE=AC・・・AACD^AAED[SAS]:.CD=EDAACD中，由已知AD二AC,ZCAD二30。，/.AACD为等腰三角形，ZACD=75°,ZDCE=ZACD-ZACE=75°-60°=15°,ZDCB=ZACB-ZACD
4、=90°-75°=15°在△CDE与△CDB中，ZDCE=ZDCB,CD=CD,CE=CA=CB・•・ACDE9ACDB[SAS]・・・BD二ED二CD・方法二:C将D点沿AB翻折得E,连接AE、CE,贝ij：ZEAB=ZDAB,AE=AD,BD二BE,ZDBA二ZEBAVZCAB=45°,ZCAD=30°・・・ZDAB二15°,ZEAB=15°AZCAE=45°+15°=60。由已知AD=AC,ZCAD=30°,可得△ADC为等腰三角形,且ZACD=(180°-30°)/2=75°/.ZDCB=ZACB-ZACD=90°-
5、75°=15°由已知AD二AC还可得AE二AC,・・・AAEC为等边三角形.【有一个角为60。的等腰三角形为等边三角形】・・・ZACE二60°,ZECB二90°-60°二30°,CE二CA二CB/.ACEB为等腰三角形,且ZCBE=(180°-30°)/2=75°AZEBA=30°,ZDBA=30°AZDBC=ZEBC-ZEBA-ZDBA=75°-30°-30°=15°・・・DB二DC.方法三：E将D点沿AC翻折得E,连接AE、CE、DE,贝ij：ZEAC=ZDAC=30°,AE=AD,CD二CE,AC丄DE・••①ZEAD
6、二60。，且AAED为等边三角形，并得ED=AD=BC.【有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形】・••②BC〃ED,ZBCD二ZEDC在△ECD与△BDC中，ED二BC,CD二DC,ZBCD=ZEDC・•・AECDABDC[SAS]AEC=BD=CD.方法四：将A沿CD翻折，得到点E,连接CE、BE,连接DE交CB于H,连接AE分别交CD、CB于点F、G可知：△ECD竺AACD,CA=CE,DE=DA,ZCED=ZCAD=30°由已知条件AC二AD,及以上分析，可知AACD、AECD均为顶角30°的等腰三角形，・・・ZA
7、CD=ZECD=75。AZECB=ZACE-ZACB=150°-90°=60°同时由CA=CB及CE=CA可得CE=CB・・・AECB为等边三角形【有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形】・・・ZCEB二60°,ZBED二ZCEB-ZCED二60°-30°二30°,EB二EC在AECD与AEBD中，ED二ED,EC=EB,ZCED=ZBED・•・AECDAEBD[SAS]ACD=BD.方法五:C过点B作AD的平行线BE,并使BE=AD则：ZEBA=ZDAB=45°-30°=15°BE=BCACEB中，ZEBCM5°+15°
8、=6O°,BE二BC・•・ACEB为等边三角形【有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形】:.ZECB=60°,EC二BC二DA在△DAB与△EBA中，AB二BA,EC=EB,ZEBA二ZDAB・•・ADABAEBA[SAS]ADB=EA.在△人。0与4CEA中,AC=CA,EC=DA,Z
