2011年---2013“北约”、“华约”自主招生数学试题

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1、2011年“北约”13校联考自主招生数学试题2012年北约自主招生数学试题1、求的取值范围使得是增函数；2、求的实数根的个数；3、已知的4个根组成首项为的等差数列，求；4、如果锐角的外接圆的圆心为，求到三角形三边的距离之比；5、已知点，若点是圆上的动点，求面积的最小值。6、在中取一组数，使得任意两数之和不能被其差整除，最多能取多少个数？7、求使得在有唯一解的；8、求证：若圆内接五边形的每个角都相等，则它为正五边形；9、求证：对于任意的正整数，必可表示成的形式，其中222012年自主招生北约联考数学试题解答22222013年北约自主招生数学试题解析1．以和为两根的有理系数多项式的

2、次数最小是多少？解析：显然，多项式的系数均为有理数，且有两根分别为和.于是知，以和为两根的有理系数多项式的次数的最小可能值不大于5.若存在一个次数不超过4的有理系数多项式，其两根分别为22和，其中不全为0，则：即方程组：，有非0有理数解.由（1）+（3）得：（6）由（6）+（2）得：（7）由（6）+（4）得：（8）由（7）（5）得：，代入（7）、（8）得：，代入（1）、（2）知：.于是知，与不全为0矛盾.所以不存在一个次数不超过4的有理系数多项式，其两根分别为和.综上所述知，以和为两根的有理系数多项式的次数最小为5.2．在的表中停放3辆完全相同的红色车和3辆完全相同的黑色车，每

3、一行每一列只有一辆车，每辆车占一格，共有几种停放方法？解析：先从6行中选取3行停放红色车，有种选择.最上面一行的红色车位置有6种选择；最上面一行的红色车位置选定后，中间一行的红色车位置有5种选择；上面两行的红色车位置选定后，最下面一行的红色车位置有4种选择。三辆红色车的位置选定后，黑色车的位置有3！=6种选择。所以共有种停放汽车的方法.3．已知，求的值.解析：根据条件知：由两式相减得故或①若则，解得.于是知或.22当时，.当时.（2）若，则根据条件知：，于是，进而知.于是知：.综上所述知，的值为或.4．如图，中，为边上中线，分别的角平分线，试比较与的大小关系，并说明理由.解析：

4、如图，延长到，使得，连接.易知，所以.又因为分别为的角平分线，所以，知为线段的垂直平分线，所以.所以.5．数列满足，前项和为，求.解析：根据条件知：.又根据条件知：.所以数列.22又.令，则，所以.即.对，两边同除以，有，即.令，则，，于是知.所以.于是知：.6．模长为1的复数，满足，求的模长.解析：根据公式知，.于是知：.所以的模长为1.7．最多能取多少个两两不等的正整数，使得其中任意三个数之和都为素数.解析：所有正整数按取模3可分为三类：型、型、型.首先，我们可以证明，所取的数最多只能取到两类.否则，若三类数都有取到，设所取型数为，型数为，型数为，则，不可能为素数.所以三类

5、数中，最多能取到两类.其次，我们容易知道，每类数最多只能取两个.否则，若某一类型的数至少取到三个，设其中三个分别为，则，不可能为素数.所以每类数最多只能取两个.结合上述两条，我们知道最多只能取个数，才有可能满足题设条件.另一方面，设所取的四个数为1、7、5、11，即满足题设条件.综上所述，若要满足题设条件，最多能取四个两两不同的正整数.8．已知，满足，且22，求证：.解析：根据条件知:，（1）另一方面，令，则中每个数或为，或为.设其中有个，个，则：（2）由（1）、（2）知：（3）而为奇数，不可能为0，所以.于是知：.从而知：，即得.同理可知：.命题得证.9．对任意的，求的值.解

6、析：根据二倍角和三倍角公式知：.10．已知有个实数，排列成阶数阵，记作，使得数阵中的每一行从左到右都是递增的，即对任意的，当时，都有.现将的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的阶数阵，记作22，即对任意的，当时，都有.试判断中每一行的个数的大小关系，并说明理由.解析：数阵中每一行的个数从左到右都是递增的，理由如下：显然，我们要证数阵中每一行的个数从左到右都是递增的，我们只需证明，对于任意，都有，其中.若存在一组.令，其中，.则当时，都有.也即在中，至少有个数小于，也即在数阵的第列中，至少排在第行，与排在第行矛盾.所以对于任意，都有，即数阵中每一行的个数从左到

7、右都是递增的. 2011年高水平大学自主选拔学业能力测试（华约）数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．设复数z满足且，则（A）（B）（C）（D）【答案】D2．在正四棱锥P-ABCD中，M，N分别为PA，PB的中点，且侧面与地面所成二面角的正切值为。则一面直线DM与AN所成交角的余