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1、【三维设计】(江苏专版)2013高中数学二轮专题第二部分专题5配套专题检测1.已知变量a,θ∈R,则(a-2cosθ)2+(a-5-2sinθ)2的最小值为________.解析:(a,a-5)在直线x-y-5=0上,点(2cosθ,2sinθ)在圆x2+y2=4上,圆心到直线x-y-5=0的距离为5,则圆上点到直线距离最小值为3,故所求的最小值为9.答案:92.已知实数x,y满足(x-3)2+y2=3,则的最大值是________.解析:可看作是过点P(x,y)与M(1,0)的直线的斜率,其中点P在圆(x
2、-3)2+y2=3上,如图,当直线处于图中切线位置时,斜率最大,最大值为tanθ=.答案:3.不等式0≤x2-ax+a≤1的解集是单元素集,则a的值为________.解析:画图(如右图),可知当函数y=x2-ax+a的最小值为1时满足题意.可得=1,解得a=2.答案:24.若关于x的方程=kx+2有惟一解,则实数k的集合为_______.解析:如图,设f(x)=,g(x)=kx+2,f(x)图象是半圆,g(x)图象是经过(0,2)的直线系,当直线与半圆相切时,k=±满足题意;当直线在点(-1,0)与(1,
3、0)之间旋转,即k<-2或k>2时也满足题意.答案:{k
4、k<-2,或k>2,或k=±}5.对a,b∈R,记max{a,b}=那么函数f(x)=max{
5、x+1
6、,
7、x-2
8、}(x∈R)的最小值是________.解析:函数f(x)=max{
9、x+1
10、,
11、x-2
12、}(x∈R)的图象如图所示,由图象可得,其最小值为.答案:6.过抛物线y=ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线交于P、Q两点,若线段PF、FQ5的长分别为p、q,则+=________.解析:设k=0,因抛物线焦点坐标为,把直线方程y=代入抛物
13、线方程得x=±,所以PF=FQ=,从而+=4a.答案:4a7.已知函数f(x)=sinx+cosx+
14、sinx-cosx
15、对任意x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2),则
16、x2-x1
17、的最小值为________.解析:依题意知,当sinx-cosx≥0,即sinx≥coss时,f(x)=2sinx;当sinx-cosx<0,即sinx<cosx时,f(x)=2cosx.f(x1),f(x2)分别是f(x)的最小值与最大值,在坐标系中画出函数y=f(x)的图象,结合图象可知,
18、x2-x1
19、的最小值为.8.
20、把一个长、宽、高分别为25cm、20cm、5cm的长方体木盒从一个正方形窗口穿过,那么正方形窗口的边长至少应为________.解析:由于长方体各个面中宽和高所在的面的边长最小,所以应由这个面对称地穿过窗口才能使正方形窗口边长尽量地小.如图:设AE=x,BE=y,则有AE=AH=CF=CG=x,BE=BF=DG=DH=y,∴即∴AB=x+y=10+=.答案:9.(2012·泰州期末)设实数a≥1,使得不等式x
21、x-a
22、+≥a,对任意的实数x∈[1,2]恒成立,则满足条件的实数a的范围是________.解析
23、:当a≤时,不等式x
24、x-a
25、+≥a,对任意的实数x∈[1,2]恒成立,当a>时,将不等式化为
26、x-a
27、≥,作出函数y=
28、x-a
29、,y=(1≤x≤2)的图象,如图,不等式x
30、x-a
31、+≥a,对任意的实数x5∈[1,2]恒成立的条件是,函数y=
32、x-a
33、的图象全部落在函数y=(1≤x≤2)的图象的上方,由解得a≥.综上所述,实数a的范围是∪.答案:∪10.(2012·南通三模)若函数f(x)=
34、2x-1
35、,则函数g(x)=f(f(x))+lnx在(0,1)上不同的零点个数为________.解析:考虑函数y=
36、f(f(x))=
37、2
38、2x-1
39、-1
40、与y=-lnx的图象交点的个数.而函数y=
41、2
42、2x-1
43、-1
44、=由图象易得交点个数为3.答案:311.(2012·盐城一中)已知k为正常数,方程x2-kx+u=0有两个正数解x1,x2.(1)求实数u的取值范围;(2)求使不等式≥2恒成立的k的取值范围.解:(1)由于方程x2-kx+u=0有两个正数解x1,x2,所以解得0<u≤,即实数u的取值范围是.(2)=x1x2+-=u-+2.令f(u)=u-+2(u>0),所以f′(u)=1+,(ⅰ)若k≥1,因为0<u≤,所
45、以f′(u)>0,从而f(u)在为增函数,所以u-+2≤f=-+2=2,5即≥2不恒成立.(ⅱ)若00,所以函数f(u)在(0,]上递减,在[,+∞)上递增,要使函数f(u)在上恒有f(u)≥f,必有≥,即k4+16k2-16≤0,解得0<k≤2.综上,k的取值范围是(0,2].12.(2012·南师大信息卷)