中考数学压轴题破解策略专题15《角含半角模型》.doc

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1、专题15《角含半角模型》破题策略1．等腰直角三角形角含半角如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D，E在BC上且∠DAE＝45°（1）△BAE∽△ADE∽△CDA （2）BD2＋CE2＝DE2．证明（1）易得∠ADC＝∠B＋∠BAD＝∠EAB，所以△BAE∽△ADE∽△CDA．（2）方法一（旋转法）：如图1，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACF，连结EF．则∠EAF＝∠EAD＝45°，AF＝AD，所以△ADE∽△FAE（ SAS ）．所以DE＝ EF．而CF＝BD，∠FCE＝∠FCA＋∠ACE＝90°，所以BD2＋ CE2＝CF2＋CE2＝EF2＝DE2．方法二（翻折法）

2、：如图2，作点B 关于AD 的对称点F，连结AF，DF，EF．因为∠BAD＋∠EAC＝∠DAF＋∠EAF，又因为∠BAD＝∠DAF，则∠FAE＝∠CAE，AF＝AB＝AC，所以△FAE∽△CAE（SAS）．所以EF＝ EC．而DF＝BD，∠DFE＝∠AFD＋ ∠AFE＝90°，所以BD2＋ EC2＝ FD2＋ EF2＝ DE2．【拓展】①如图，在△ ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D 在BC 上，点E 在BC 的延长线上，且∠DAE＝45°，则BD2＋CE2＝DE2．可以通过旋转、翻折的方法来证明，如图：②将等腰直角三角形变成任意的等腰三角形：如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，

3、E在BC上，且∠DAE＝∠BAC，则以BD，DE，EC为三边长的三角形有一个内角度数为180°－∠BAC．可以通过旋转、翻折的方法将BD，DE，EC转移到一个三角形中，如图：2．正方形角含半角如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°，连结EF，则：（1）EF＝BE＋DF;（2）如图2，过点A作AG⊥EF于点G，则AG＝AD;（3）如图3，连结BD交AE于点H，连结FH．则FH⊥AE．（1）如图4，将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ADI证明．则∠IAF＝∠EAF＝45°，AI＝AE，所以△AEF∽△AIF（SAS），所以EF＝IF＝DI＋DF＝BE＋DF．

4、（2）因为△AEF∽△AIF，AG⊥EF，AD⊥IF，所以AG＝AD．（3）由∠HAF＝∠HDF＝45°可得A，D，F，H 四点共圆，从而∠AHF＝180°－∠ADF＝90°，即FH⊥AE．【拓展】①如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CB，DC 的延长线上，∠EAF＝45°，连结EF，则EF＝DF－BE．可以通过旋转的方法来证明.如图:②如图，在一组邻边相等、对角互补的四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠C=180°，点E，F分别在BC、CD上，∠EAF=∠BAD，连结EF，则EF=BE+DF.可以通过旋转的方法来证明.如图:例题讲解例1如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边B

5、C、CD上，∠EAF＝45°.（1）试判断BE、EF、FD之间的数量关系.（2）如图2，在四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD．∠B＋∠D＝180°，点E、F分别在BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足　　　　关系时，仍有EF＝BE＋FD.（3）如图3．在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD.已知AB＝AD＝80m，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC，CD上分别有景点E，F，且AE⊥AD．DF＝40（－1）m．现要在E、F之间修一条笔直的道路，求这条道路EF的长．（结果取整数，参考数据：＝1.41，＝1.73）解：（1）由“正方形内含半角模型

6、”可得EF＝BE＋FD．（2）∠BAD＝2∠EAF，理由如下：如图4，延长CD至点G，使得DG＝BE．连结AG.易证△ABE≌△ADG（SAS）.所以AE＝AG，即EF＝BE＋DF＝DG＋DF＝GF.从而证得△AEF≌△AGF（SSS）．所以∠EAF＝∠GAF＝∠EAG＝∠BAD.（3）如图5，将△ABE绕点A逆时针旋转150°至△ADG．连结AF．由题意可得∠BAE＝60°所以△ABE和△ADG均为等腰直角三角形.过点A作AH⊥DG于点H．则DH＝AD＝40m，AH＝AD＝40m.而DF＝40（－1）m.所以∠EAF＝∠GAF＝45°.可得△EAF≌△GAF（SAS）．所以EF＝GF＝80m

7、+40（－l）m≈109.2m.例2如图，正方形ABCD的边长为a，BM、DN分别平分正方形的两个外角，且满足∠MAN＝45°．连结MC、NC、MN．（1）与△ABM相似的三角形是　　　　　，BMDN＝　　　（用含有a的代数式表示）；（2）求∠MCN的度数；（3）请你猜想线段BM、DN和MN之间的等量关系，并证明你的结论.解：（1）△NDA，.（2）由（1）可得，所以．易证∠CBM＝∠NDC＝45