材料力学(单辉祖)第十三章 能量法.pdf

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1、第十三章能量法主讲人：张能辉1引言2引言-微体法研究变形体方法：微体法，能量法几何关系εij~ui微体法静力学关系σij平衡物理关系σ~εijij⇓dvV控制方程数学手段σij边界条件εij初值条件3引言-能量法P1PP21线弹性体外力作用P2恢复外力卸除P变形效应原形i线弹性体σ~ε→Hooke’sLawεij~uiLinearijijf广义载荷δ广义位移f∝δ引进比例常数f=kδ下面看能量如何写?与外力有何关系?4外力功与应变能ff=kδF¢外力功LinearElasticObjectf已知:f:0⎯slowly⎯⎯→F⎯slowly⎯⎯→Δδδ:

2、0Δδdδ求: W=?当f→f+dfδ→δ+dδ时,微小过程中认为f不变Δ1Wf=⋅=Δ∫dFδf⋅dδ阴影部分面积20orΔ11122Δ==kdδδ=kδ=kΔ=FΔ∫022205外力功与应变能¢应变能概念构件因变形而储存的能量(P653-4)(()1)变形过程缓慢,忽略动能变化假设(2)略去变形过程中产生的热能等由能量守恒Vε=W(外力功全部转化成应变能)主平面微体应变能(P2648P2648-8)1应变能密度υ=σεεii2(i=1,,,)2,3)6外力功与应变能1υ=σεεii2¢简单应力状态的应变能密度(1)σ=σ,σ=0,σ=0123σσ1

3、1υ=σε=σεε2112τ(2)σ=τ,σ=0,σ=−τ123γγτε1=,ε2=0,ε3=−22γ11υ=(σε+σε)=τγε2113327外力功与应变能¢杆件应变能微段dx储存应变能dAdV=υdV=dxυ⋅dAxε∫ε∫εdVAx体积分化为面积分dxdV整个梁存储应变能积分思想: 微段的叠加V=dV=dxυdAε∫ε∫∫εVlA8外力功与应变能¢轴向拉压211FF/A1FNNNυ=σε=⋅=ε22AE2EA22211FFNNdV==υdVdAdx=dxεε∫∫22EAE2AdVl21FNV=dV=dxε∫ε∫2EAVl9dm外力功与应变能¢圆

4、轴受扭l2211TρTρ1Tρυ=τγ=×=ε22IIG2GI2ppp2221Tρ1T2V=υdV=dAdx=(ρdA)dxε∫ε∫∫2GI2∫2GI2∫VlAplpA21T=∫dx2GIlp10外力功与应变能¢弯曲(忽略切应力)1M22z1Mzυ=Vd=xε2EIε∫2EIzlzConclusion21F21T1M2Vd=NxVd=xzε∫Vd=xε∫2EA2GIε∫lp2EIllzl2杆件三种基本1内力V=dx变形的变形能ε∫2刚度011Example-1mq长为l、抗弯刚度为EI的简支梁承受均布载荷q的作用，l确定其应变能解梁任一截面m上的弯矩为

5、q(2)M(x)=lx−x2从而整个直梁的应变能为2225ll[()Mxq]22qlUd==∫∫x()lx−xdx=002EIE8I240EI12Example-1mq另一方面，根据梁弯曲理论，在均布载荷q的作用下，梁的l挠度为434ql⎛xxx⎞v(x)=⎜−2+⎟⎜34⎟24EI⎝lll⎠利用外力功等于梁的应变能，有243425ll1ql⎛⎞xxxqlUW===−∫∫00vx()qdx⎜⎟234+dx=248EI⎝⎠lll240EI外力功=应变能13Example-2ll计算原为水平位置的杆系在垂直力P作用αδ下应变能P解设杆系中两杆在载荷由零增至

6、P时，每根杆伸长Δl，杆的轴力N，并使力作用点产生位移δNl杆的本构关系(轴力和伸长)Δl=EA14Examppele-2ll杆的几何关系αδ杆伸长后长度为P⎛⎞Nlll+Δ=⎜⎟1+⎝⎠EA力作用点的垂直位移为222NN⎛⎞2Nδ=+()llllΔ−=2+⎜⎟≈lEAE⎝⎠AEA由于杆的伸长Δl是小量，故略去了其高阶量15Example-2利用平衡条件，可得llPN=αδ2sinαP角度α很小，所以δsinα=tanα≈l于是PlN=2δ变形前后16Example-2ll利用2NPlαδδ=l,N=PEA2δP有关系P3δ=lEAA3即⎛δ⎞δP=E

7、A⎜⎟⎝l⎠可见，尽管材料为线弹性的，但是位移d和载荷P之间的关系却是非线性的，将这种问题称之为几何非线性问题17PlExample-2N=2δ当外载荷为P时，杆系的应变能2223PNll⎛Pl⎞Plδ=l3U=2⋅=2⋅⎜⎟=2EA2EA2EA⎝2δ⎠4EAδ11⎛P⎞31=P⎜⎟l=Pδ4⎝EA⎠43另一方面，杆系的应变能等于外力功⎛δ⎞P=EA⎜⎟⎝l⎠3δδ⎛δ⎞U=W=∫Pdδ=∫EA⎜⎟dδ00⎝l⎠4外力功=应变能1δ1=EA=Pδ34l418外力功与应变能¢应变能特点C1:与载荷终值有关，而与加载次序无关(a)M、F同时作用M(b)先F

8、后MF(c)先M后FAB三种加载历史等效?MMMMM=+=+FMFMMF19外力功与应变能MF