,其哈斯图的画法如下:(1)以A的元素作为顶点,适当排列各顶点的顺序,使得对x,yA,若x≺y,则将x画在y的下方。(2)对A中两个不同元素x和y,如果y覆盖x,则用一条线段连接x和y.例画出偏序集<{1,2,3,…,9},R整除}和的哈斯图.二.哈斯图解:
4、它们的哈斯图分别为图A、图B表示如下:847236951图A{a,b}{a,b,c}{a}{b}{b,c}{c}{a,c}图B5例已知偏序集的哈斯图如下:求集合A和关系R的表达式。aedfhgbc解:A={a,b,c,d,e,f,g,h},R={,,,,,,,,}∪IA.6定义6设为偏序集,BA.存在yB,使得(1)x(xB→y≼x)成立,则称y是B的最小元;(2)x(xB→x≼y)成立,则称y是B的最大元;(3)x(xB∧x≼y→x=y)成立,则称y是
5、B的极小元;(4)x(xB∧y≼x→x=y)成立,则称y是B的极大元;注:极大(极小)元未必是最大(最小)元。极大(极小)元未必与B中任何元素都可比;(2)对有限集B,极大(极小)元一定存在,但最大(最小)元不一定存在;(3)最大(最小)元如果存在,必定是唯一的;而极大(极小)元一般不唯一。但如果B中只有一个极大(极小)元,则它一定是B的最大(最小)元。三.偏序集中的特殊元素7解:极大元:a,f,h;极小元:a,b,c,g;无最大元和最小元。例求上例中A的极大元、极小元、最大元、最小元,8定义7设为偏序集,BA.(1)若存在yA,使得x(xB→x≼y)成立,
6、则称y为B的上界;(2)若存在yA,使得x(xB→y≼x)成立,则称y为B的下界;(3)令C={y
7、y为B的上界},则称C的最小元为B的最小上界或上确界;(4)令D={y
8、y为B的下界},则称D的最大元为B的最大下界或下确界.注:B的最大元(最小元)必定是B的上界(下界),也是B的上确界(下确界)。2.B的上界和上确界都未必是B的最大元,因它们可能不在B中。同理,下界和下确也未必是B的最小元。3.B的上界、上确界、下界、下确界都可能不存在。但如果上确界(下确界)存在,则它是唯一的。9例考虑下图中的偏序集.令B={b,c,d},试讨论B的上(下)界,最大下界,最小上界等。
9、解析:(1)则B的下界和最大下界都不存在;(2)上界有d和f,最小上界为d.例设A={2,3,4,6,7,8,12,36,60},在半序集(A,
10、)上,半序关系
11、是整除关系。取B1={7,8},B2={8,12},B3={2,3},B4={2,4,12},则Bi(i=1,2,3,4)集合上的上(下)界,上(下)确界,极大(下)元?作出哈斯图!集合上界下界上确界下确界极大元极小元B1无无无无7,87,8B2无4,2无48,128,12B36,12,36,60无6无2,32,3B41