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《《有限元方法25讲》第一章课件.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、0.1弹性力学的基本方程在有限单元法中经常要用到弹性力学的基本方程和与之等效的变分原理，现将它们连同相应的矩阵表达形式和张量表达形式综合引述于后。关于它们的详细推导可从弹性力学的有关教材中查到。0.1.1弹性力学基本方程的矩阵形式弹性体的基本假设为突出所处理问题的实质，并使问题得以简单化和抽象化，在弹性力学中，提出以下五个基本假定。(1)物体内的物质连续性(continuity)假定，即认为物质中无空隙，因此可采用连续函数来描述对象。(2)物体内的物质均匀性(homogeneity)假定，即认为物体内各个位置的物质具有相同特性，因此，各个
2、位置材料的描述是相同的。(3)物体内的物质(力学)特性各向同性(isotropy)假定，即认为物体内同一位置的物质在各个方向上具有相同特性，因此，同一位置材料在各个方向上的描述是相同的。(4)线弹性(1inearelasticity)假定，即物体变形与外力作用的关系是线性的，外力去除后，物体可恢复原状，因此，描述材料性质的方程是线性方程。(5)小变形(smalldeformation)假定，即物体变形远小于物体的几何尺寸，因此在建立方程时，可以忽略高阶小量(二阶以上)。以上基本假定和真实情况虽然有一定的差别，但从宏观尺度上来看，特别是对于
3、工程问题，大多数情况下还是比较接近实际的。以上几个假定的最大作用就是可以对复杂的对象进行简化处理，以抓住问题的实质。弹性体在载荷作用下，体内任意一点的应力状态可由6个应力分量σ,σ,σ,τ,τ,τ来表示。xyzxyyzzx其中σ,σ,σ为正应力；τ,τ,τ为剪应力。应力分量的正负号规定如下：如果某一个面的外法xyzxyyzzx线方向与坐标轴的正方向一致，这个面上的应力分量就以沿坐标轴正方向为正，与坐标轴反向为负；相反，如果某一个面的外法线方向与坐标轴的负方向一致，这个面上的应力分量就以沿坐标轴负方向为正，与坐标轴同向为负。应力分量及其正方
4、向见图0.1.1。应力分量的矩阵表示称为应力列阵或应力向量。⎧⎫σx⎪⎪σ⎪⎪y⎪⎪⎪⎪σTz{}σ=⎨⎬=⎡⎣σσστττxyzxyyzzx⎤⎦(0.1.1)τ⎪⎪xy⎪⎪τyz⎪⎪⎪⎪⎩⎭τzx弹性体在载荷作用下，还将产生位移和变形，即弹性体位置的移动和形状的改变。1图0.1.1应力分量弹性体内任一点的位移可由沿直角坐标轴方向的3个位移分量w,v,u来表示。它的矩阵形式是⎧⎫u⎪⎪T{}uvu==⎨⎬[vw](0.1.2)⎪⎪⎩⎭w称作位移列阵或位移向量。弹性体内任意一点的应变，可以由6个应变分量ε,ε,ε,γ,γ,γ来表示。其中ε,
5、ε,ε为xyzxyyzzxxyz正应变；γ,γ,γ为剪应变。应变的正负号与应力的正负号相对应，即应变以伸长时为正，缩短xyyzzx为负；剪应变是以两个沿坐标轴正方向的线段组成的直角变小为正，反之为负。图0.1.2的(a)，(b)分别为ε和γ的应变状态。xxy图0.1.2ε和γ的应变的正方向xxy应变的矩阵形式是2⎧⎫εx⎪⎪ε⎪⎪y⎪⎪⎪⎪εTz{}ε=⎨⎬=⎡⎣εεεγγγxyzxyyzzx⎤⎦(0.1.3)γ⎪⎪xy⎪⎪γyz⎪⎪⎪⎪⎩⎭γzx称为应变列阵或应变向量。对于三维问题，弹性力学基本方程为如下形式。1.平衡方程由x，y，z三
6、方向的力平衡可推出微分形式的平衡方程。在推导平衡方程时不同位置截面上的应力将由于几何位置的差别dx，dy，dz而有所不同，以Taylor级数展开后，可写为∂σxx(xyz,,)σσxx()x+=dxyz,,xx(xyz,,)+dx+∂x2∂σxx(xyz,,)2()dx+?22∂x略去二阶以上微量，有∂σ(y,x)()()xxσx+dxy,=σy,x+dxxxxx∂x故弹性体V域内任一点沿坐标轴x,y,z方向的平衡方程为∂∂στ∂τxxxyz+++=F0x∂∂∂xyz∂∂∂τστyxyyz+++=F0(0.1.4)y∂∂∂xyz∂τ∂τ∂
7、σzxzyz+++=F0z∂∂∂xyz其中FFF,,为单位体积的体积力在x,y,z方向的分量。xyz平衡方程的矩阵形式为[AF]{σ}+{}=0(0.1.5)其中[]A是微分算子3⎡⎤∂∂∂⎢⎥000∂∂xyz∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂[]A=⎢000⎥(0.1.6)∂∂yx∂z⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥000⎣⎦∂zy∂∂xT{F}是体积力向量，{F}=⎡⎤⎣⎦FFFxyz2.几何方程——应变-位移关系设一个变形体微小体元的平面直角在变形前为APB，而变形后为A’P’B’，P点变形到P’点的x方向位移为u，y方向位移为v，如下图0.1.3所示。0.1.3
8、平面问题中的变形表达从图0.1.3可以看出，平面物体在受力后，其几何形状的改变主要在两个方面：沿各个方向上的长度变化以及夹角的变化，下面给出具体的描述。(1)定义x方向的相对伸长量为PA′′′
