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时间:2020-10-21
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1、用消元法解线性方程组得知,线性方程组解的情况有三种:无穷多解、唯一解和无解.归纳求解过程,实际上就是对方程组(2.6.1)的增广矩阵2.7线性方程组解的情况判定返回1/28下一页下一页上一页上一页返回2/28上一页上一页下一页下一页进行初等行变换,将其化成如下形式的阶梯形矩阵:2.7线性方程组解的情况判定返回3/28上一页上一页下一页下一页,(2.7.1)2.7线性方程组解的情况判定其中 ,或.(2.7.2)返回4/28上一页上一页下一页下一页2.7线性方程组解的情况判定由定理2.6.1可知,阶梯
2、形矩阵(2.7.1)和(2.7.2)所表示的方程组与方程组(2.6.1)是同解方程组,于是由矩阵(2.7.1)和(2.7.2)可得方程组(2.7.1)的解的结论:1.当 时,阶梯形矩阵(2.7.1)和(2.7.2)所表示的方程组中的第 个方程“ ”是一个矛盾方程,因此,方程组(2.6.1)无解.返回5/28上一页上一页下一页下一页2.7线性方程组解的情况判定2.当 时,方程组(2.6.1)有解.并且解有两种情况:(1)如果 ,则阶梯形矩阵(2.7.1)表示的方程组为,,.返回6/28上一页上
3、一页下一页下一页2.7线性方程组解的情况判定用回代的方法,自下而上依次求出, , , 的值.因此,方程组(2.6.1)有唯一解.(2)如果 ,则阶梯形矩阵(2.7.1)表示的方程组为,,.返回7/28上一页上一页下一页下一页2.7线性方程组解的情况判定将后 个未知量项移至等号的右端,得,,,其中 , , 为自由未知量.因此,方程组(2.6.1)有无穷多解.返回8/28上一页上一页下一页下一页2.7线性方程组解的情况判定定理2.7.1(线性方程组有解判别定理)线性方程组(2.6.1)有解的充分必要
4、条件是其系数矩阵与增广矩阵的秩相等.即.推论1线性方程组(2.6.1)有唯一解的充分必要条件是 .返回9/28上一页上一页下一页下一页2.7线性方程组解的情况判定推论2线性方程组(2.6.1)有无穷多解的充分必要条件是 .推论3齐次线性方程组(2.6.2)只有零解的充分必要条件是 .推论4齐次线性方程组(2.6.2)有非零的充分必要条件是 .返回10/28上一页上一页下一页下一页2.7线性方程组解的情况判定特别地,当齐次线性方程组(2.6.2)中,方程个数少于未知量个数
5、 时,必有.这时方程(2.6.2)一定有非零解.返回11/28上一页上一页下一页下一页2.7线性方程组解的情况判定例1判别下列方程组是否有解?若有解,是有唯一解还是有无穷多解?(1),,,;返回12/28上一页上一页下一页下一页2.7线性方程组解的情况判定(2),,,;(3),,,.返回13/28上一页上一页下一页下一页2.7线性方程组解的情况判定解(1)用初等行变换将增广矩阵化成阶梯形矩阵,即返回14/28上一页上一页下一页下一页2.7线性方程组解的情况判定因为 , ,两者不等,所以方程组无解
6、..返回15/28上一页上一页下一页下一页2.7线性方程组解的情况判定(2)用初等行变换将增广矩阵化成阶梯形矩阵,即因为 ,所以方程组有无穷多解.返回16/28上一页上一页下一页下一页2.7线性方程组解的情况判定(3)用初等行变换将增广矩阵化成阶梯形矩阵,即因为 ,所以方程组有唯一解..返回17/28上一页上一页下一页下一页2.7线性方程组解的情况判定例2判别下列齐次方程组是否有非零解?,,,.返回18/28上一页上一页下一页下一页2.7线性方程组解的情况判定解用初等行变换将系数矩阵化成阶梯形矩
7、阵,即返回19/28上一页上一页下一页下一页2.7线性方程组解的情况判定因为,所以齐次方程组只有零解..返回20/28上一页上一页下一页下一页2.7线性方程组解的情况判定例3问 , 取何值时,下列方程组无解?有唯一解?有无穷多解?,,.返回21/28上一页上一页下一页下一页2.7线性方程组解的情况判定解由.返回22/28上一页上一页下一页下一页2.7线性方程组解的情况判定当 时, ,故方程组有唯一解;当 而 时, ,故方程组有无穷多解.当 而 时, ,,故方程组无
8、解;返回23/28上一页上一页下一页下一页2.7线性方程组解的情况判定例4已知总成本 是产量 的二次函数.根据统计资料,产量与总成本之间有如表2-1所示的数据.试求总成本函数中的,,.返回24/28上一页上一页下一页下一页2.7线性方程组解的情况判定表2-1某厂某阶段产量与总成本统计表时 期产量(千台)总成本(万元)第1期第2期第3期61041016020370返回25/28上一页上
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