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1、第五章解线性方程组的直接方法§5.1引言线性方程组:(5.1)结束1在自然科学和工程技术中,很多问题归结为解线性方程组.有的问题的数学模型中虽不直接表现为含线性方程组,但它的数值解法中将问题“离散化”或“线性化”为线性方程组.因此线性方程组的求解是数值分析课程中最基本的内容之一.常记为矩阵形式Ax=b(5.2)此时A是一个n×n方阵,x和b是n维列向量.根据线性代数知识若｜A
2、≠0,(5.2)的解存在且唯一.结束2关于线性方程组的解法一般分为两大类,一类是直接法,即经过有限次的算术运算,可以求得(5.1)的精确解(假定计算过程没有舍入误差).如线性代数课程中提
3、到的克莱姆算法就是一种直接法.但该法对高阶方程组计算量太大,不是一种实用的算法〔１〕.实用的直接法中具有代表性的算法是高斯消元法,其它算法都是它的变形和应用.另一类是迭代法,它将(5.1)变形为某种迭代公式,给出初始解x0,用迭代公式得到近似解的序列｛xk｝,k=0,1,2,,在一定的条件下xk→x*(精确解).结束3迭代法显然有一个收敛条件和收敛速度问题.这两种解法都有广泛的应用,我们将分别讨论,本章介绍直接法.高斯消元法是一种古老的方法.我们在中学学过消元法,高斯消元法就是它的标准化的、适合在计算机上自动计算的一种方法。§5.2高斯(Gauss)消元法结束4例
4、1解方程组(5.3)(5.4)(5.5)第一步,将(5.3)乘-2加到(5.4)；(5.3)乘-1加到(5.5),得到(5.3)(5.6)(5.7)5结束5.2.1高斯消元法的基本思想第二步,将(5.6)乘-2/3加到(5.7),得到(5.3)(5.6)(5.8)回代:解(5.8)得x3,将x3代入(5.6)得x2,将x2,x3代入(5.3)得x1,得到解x*=(2,1,-1)T容易看出第一步和第二步相当于增广矩阵［Ａ:b］在作行变换,用ri表示增广阵［A:b］的第i行:结束6结束7由此看出上述过程是逐次消去未知数的系数,将Ax=b化为等价的三角形方程组,然后回代解
5、之,这就是高斯消元法.记Ax=b为A(1)x=b(1),A(1)和b(1)的元素记为和,i,j=1,2,,n.第一次消元,目的是消掉第二个方程到第n个方程中的x1项,得到A(2)x=b(2),这个过程须假定≠0.结束85.2.2高斯消元法公式在［A(1):b(1)］中,红方框中的元素是要化为0的部分；［A(2):b(2)］中,红方框中的元素全部已发生变化,故上标由(1)改(2),计算公式为:结束9(i=2,3,,n)(i,j=2,3,,n)(i=2,3,,n)(i=2,3,,n)第k次消元(1≤k≤n-1)设第k-1次消元已完成,且≠0,此时增广矩阵如下:
6、结束10结束11本次消元的目的是对框内部分作类似第一次消元的处理,消掉第k+1个方程到第n个方程中的xk项,即把到化为零.计算公式如下:(i=k+1,,n)(i,j=k+1,,n)(i=k+1,,n)(i=k+1,,n)只要≠0,(k=1,2,,n-1)消元过程就可以进行下去.当k=n-1时,消元过程完成,得:结束12它的方阵部分A(n)是一个上三角形矩阵,它对应的方程组是一个上三角形方程组,只要≠0,就可以回代求解,公式为(i=n-1,n-2,,1)综合以上讨论,高斯消元法解线性方程的公式为:结束131消元①令(i,j=1,2,…,n)(i
7、=k+1,k+2,,n)(i,j=k+1,k+2,,n)(i=k+1,k+2,,n)②对k=1到n-1,若≠0,进行:(i=k+1,k+2,,n)(5.9)结束142回代,若≠0(i=n-1,n-2,,1)(5.10)结束15以上过程中,消元过程要求≠0(i=1,2,,n-1),回代过程则进一步要求≠0,但就方程组Ax=b讲,是否等于0是无法事先看出的.5.2.3高斯消元法的条件注意A的顺序主子式Di(i=1,2,,n)在消元过程中不变.这是因为消元所作的变换是“将某行的若干倍加到另一行”上,据线性代数知识,此类变换不改变行列式的值.若高斯
8、消元过程已进行了k-1步(此时当然应有≠0,i≤k-1),这时计算A(k)的顺序主子式:结束16有递推公式(i=2,3,,k)显然,,可知,消元过程能进行到底的充要条件是Di≠0,(i=1,2,,n-1),若要回代过程也能完成,还应加上Dn=｜A｜≠0,综合上述有:定理5.1高斯消元法消元过程能进行到底的充要条件是系数阵A的1到n-1阶顺序主子式不为零；Ax=b能用高斯消元法解的充要条件是A的各阶顺序主子式不为零.结束17消元过程的工作量,参看公式(5.9),k是消元次数,k=1,2,,n-1,第k步消元时,计算lik(i=k+1,,n)需要n-k次除法
