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1、__________________________________________________高中数学竞赛中数论问题的常用方法数论是研究数的性质的一门科学,它与中学数学教育有密切的联系.数论问题解法灵活,题型丰富,它是中学数学竞赛试题的源泉之一.下面介绍数论试题的常用方法.1.基本原理为了使用方便,我们将数论中的一些概念和结论摘录如下:我们用表示整数,,…,的最大公约数.用[,,…,]表示,,…,的最小公倍数.对于实数,用[]表示不超过的最大整数,用{}=-[]表示的小数部分.对于整数,若,则称关于模同余,记为.对于正整数,用表示{1,2
2、,…,}中与互质的整数的个数,并称为欧拉函数.对于正整数,若整数中任何两个数对模均不同余,则称{}为模的一个完全剩余系；若整数中每一个数都与互质,且其中任何两个数关于模不同余,则称{}为模的简化剩余系.定理1设的最大公约数为,则存在整数,使得.定理2(1)若,,2,…,,,则；(2)若,,,则；(3)若,,且,则；(4)若(),,M=[],则().定理3(1)；(2)；(3)设为素数,则在质因数分解中,的指数为.定理4(1)若{}是模的完全剩余系,,则{}也是模的完全剩余系；(2)若{}是模的简化剩余系,,则{}是模的简化剩余系.定理5(1)若
3、,则.(2)若的标准分解式为,其中为正整数,收集于网络，如有侵权请联系管理员删除__________________________________________________为互不相同的素数,则.对于以上结论的证明,有兴趣的读者可查阅初等数论教材.2方法解读对于数论试题,除直接运用数论的基本原理外,常用的基本方法还有因式(因数)分解法,配对法,分组法,估值法,同余方法,构造法,调整法,数学归纳法与反证法.下面分别予以说明2.1基本原理的应用例1设正整数,,的最大公约数为1,并且(1),证明:是一个完全平方数.证:设,,,其中.由于,故有.
4、由(1)得(2)由(2)知,,又,∴.同理可证,从而有,设,为正整数,代入(2)得(3)由(3)知,又,,.∴.∴.故成立.例2设为大于1的奇数,,,…,为给定的整数.对于{}的排列,记,试证存在{}的两个不同的排列B、C,使得.证:假设对于任意两个不同的排列B、C,均有不整除.令X为{}的所有排列构成的集合,则{}为模的一个完全剩余系,从而有(1)又=(2)而为大于1的奇数,所以由(1),(2)得.又,所以,矛盾.故,存在B、C,BC,使得.2.2因式(数)分解数论中许多问题直接与因式(数)分解相关联,如合数问题,整除问题等常常是要证明某种分
5、解式的存在.数的标准分解式本身就是一种特定形式的因数分解.在不定方程的求解与一些代数式的求值中,因式(数)分解能帮助我们确定某些变量的取值范围,寻找到解题的方法.收集于网络，如有侵权请联系管理员删除__________________________________________________例3求三个素数,使得它们的积为和的5倍.解:易知,,中必有一个为5,不妨设,则有,从而有.因为与均为正整数,不妨设,则有或,从而知,.故所求的三个素数为2,5,7.2.3配对例4设为正奇数,证明:整除.分析因为.故需证,注意到当为奇数时,可因式分解,因
6、此可将中的个数两两配对.证=,而当为奇数时,,从而知(1)又=,∴(2)由(1)(2)知,,故结论成立.2.4分组例5(1990年高中联赛试题)设,,且具有下列性质:(1)对任何,；(2).试证:中的奇数的个数是4的倍数,且中所有数的平方和是一定数.证:对于,令,.,则中恰含中的一个元素.设中有个奇数,,…,,有个偶数,这里=.由题设知,10080==+=2+=.∴(1)收集于网络，如有侵权请联系管理员删除__________________________________________________由于为偶数,所以,又,所以,,即是4的倍
7、数.==+=+=+(2)将(1)代入(2)得=1349380.2.5估值例6令表示前个质数之和,即,,,…,证明:对任意的正整数,区间[]中包含有一个完全平方数.分析:设质数从小到大依次为…,要结论成立,只要存在正整数,使得,只要,只要,只要,只要,只要(1)证:直接验证易知[],[],[],[]中都含有1个完全平方数.当时,我们证明:(1)式成立.为此,令,则=.当时,为奇数,故,=,故当时,数列为递增数列.由于==32>所以当时,.故当时(1)式成立.例7求出不定方程(1)的全部正整数解.解当时,易得；当时,(1)式左边为偶数,故右边也是偶
8、数,所以为奇数.当时,由,得.当时,由,得.收集于网络，如有侵权请联系管理员删除___________________________________
