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1、专题6导数与函数综合应用补偿练习☞主干考点扫描【考纲要求】（1）导数在研究函数中的应用：①了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）．②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次），会求在闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）．（2）生活中的优化问题：会利用导数解决某些实际问题．（3）定积分与微积分基本定理：①了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．
2、②了解微积分基本定理的含义．【考点结构】【基本题型】1.已知函数则（ ）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2.已知函数在定义域内可导，其图象如图，记的导函数为，则不等式的解集为()(A)(B)(C)[来源:学。科。网](D)3.对于总有≥0成立，则=．44.设函数（1）当时，求函数图像上的点到直线距离的最小值；（2）是否存在正实数a，使对一切正实数x都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由。解：(1)由为减函数则令所求距离的最小值即为到直线的距离（2）假设存在实数a满足条件，令[来源:Z+xx+k.Com]则由为减函数当
3、为增函数的取值范围为☞高考热点聚焦热点一：导数与参数取值范围例1已知函数（且，）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是．（1）求函数的另一个极值点；（2）求函数的极大值和极小值，并求时的取值范围．解：（1），由题意知，即得，（*），．由得，由韦达定理知另一个极值点为（或）．（2）由（*）式得，即．当时，；当时，．（i）当时，在和内是减函数，在内是增函数．，，由及，解得．（ii）当时，在和内是增函数，在内是减函数．，恒成立．综上可知，所求的取值范围为．热点二：导数与不等式恒成立问题例2设函数（1）求函数的单调区间；（
4、2）已知对任意成立，求实数的取值范围。解(1)若则列表如下+0--单调增极大值单调减单调减(2)在两边取对数,得,由于所以(1)由(1)的结果可知,当时,,为使(1)式对所有成立,当且仅当,即热点三：探索性问题例3设函数．（1）求f(x)的单调区间和极值；（2）是否存在实数a，使得关于x的不等式的解集为（0，+）？若存在，求a的取值范围；若不存在，试说明理由．本小题主要考查函数的导数，单调性，极值，不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．满分14分．解：（1）故当时，，时，．所以在单调递增，在单
5、调递减．由此知在的极大值为，没有极小值．（Ⅱ）（ⅰ）当时，由于故关于的不等式的解集为．（ⅱ）当时，由知，其中为正整数，且有又时，．且．取整数满足，，且，则，即当时，关于的不等式的解集不是．综合（ⅰ）（ⅱ）知，存在，使得关于的不等式的解集为，且的取值范围为．☞快乐一练，精彩无限1.已知函数其中n∈N*,a为常数.（1）当n=2时，求函数f(x)的极值；（2）当a=1时，证明：对任意的正整数n,当x≥2时，有f(x)≤x-1.解：（1）由已知得函数f(x)的定义域为{x
6、x＞1}，当n=2时，所以①当a＞0时，由f(x)=
7、0得＞1，＜1，此时f′（x）=.当x∈（1，x1）时，f′（x）＜0,f(x)单调递减；当x∈（x1+∞）时，f′（x）＞0,f(x)单调递增.②当a≤0时，f′（x）＜0恒成立，所以f(x)无极值.综上所述，n=2时，当a＞0时，f(x)在处取得极小值，极小值为当a≤0时，f(x)无极值.（2）法一：∵a=1,∴当n为偶数时，令则g′（x）=1+＞0（x≥2）.所以当x∈[2,+∞]时，g(x)单调递增，又g(2)=0因此≥g(2)=0恒成立，所以f(x)≤x-1成立.当n为奇数时，要证≤x-1,由于＜0，所以只需
8、证ln(x-1)≤x-1,令h(x)=x-1-ln(x-1),则h′（x）=1-≥0（x≥2）,所以当x∈[2，+∞]时，单调递增，又h(2)=1＞0，所以当x≥2时，恒有h(x)＞0,即ln（x-1）＜x-1命题成立.综上所述，结论成立.证法二：当a=1时，当x≤2，时，对任意的正整数n，恒有≤1，故只需证明1+ln(x-1)≤x-1.令则当x≥2时，≥0，故h(x)在上单调递增，因此，当x≥2时，h(x)≥h(2)=0，即1+ln(x-1)≤x-1成立.故当x≥2时，有≤x-1.即f（x）≤x-1.2.已知函数(为
9、常数)是R上的奇函数，函数g(x)=是区间上的减函数.(Ⅰ)求的值；(Ⅱ)若上恒成立，求t的取值范围；(Ⅲ)讨论关于x的方程的根的个数．解：(Ⅰ)是奇函数，=om]，(Ⅱ)由（１）知：，，上单调递减，上恒成立，只需，恒成立，令＝,则，而恒成立，Ⅲ)，令当上为增函数；为减函数；当而方程无解；方程有一个根；方程有两个根
