课时考点3 函数与导数的综合应用

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1、课时考点3函数与导数的综合应用高考考纲透析：利用导数研究函数的单调性和极值、函数的最大值和最小值。高考风向标：函数与方程、不等式知识相结合是高考热点与难点。利用分类讨论的思想方法论证或判断函数的单调性，函数的极值、最值，函数与导数的综合题必是高考题中六个解答题之一。热点题型1：导函数与恒不等式已知向量在区间（－1，1）上是增函数，求t的取值范围.解法1：依定义开口向上的抛物线，故要使在区间（－1，1）上恒成立.解法2：依定义的图象是开口向下的抛物线，变式新题型1：已知函数，（1）若在实数R上单调递

2、增，求的取值范围；（2）是否存在这样的实数，使在上单调递减，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由。解题分析：本题应注意检验，第一小题需验证是否符合，第二小题需验证是否符合？热点题型2：导函数的极值与分类讨论(理科)　已知，讨论函数的极值点的个数.（1）当xx1+0－0+为极大值为极小值即此时有两个极值点.（2）当有两个相同的实根于是无极值.（3）为增函数，此时无极值.因此当无极值点.（文科）设函数R.（1）若处取得极值，求常数a的值；（2）若上为增函数，求a的取值范围.解：（Ⅰ）因取得极值

3、，所以解得经检验知当为极值点.（Ⅱ）令当和上为增函数，故当上为增函数.当上为增函数，从而上也为增函数.综上所述，当上为增函数变式新题型2：已知函数，若函数的一个极值点落在轴上，求的值。解题分析：本题有三个未知量，极值点的横坐标，但只有两个方程，因此解出是不可能的。只能从两方程中寻找出的合理关系来解决问题。热点题型3：导函数与转化的思想方法（理科）已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝－ax2＋bx，a≠0。（Ⅰ）若b＝2，且h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅱ）设函数f

4、(x)的图象C1与函数g(x)图象C2交于点P、Q，过线段PQ的中点作x轴的垂线分别交C1，C2于点M、N，证明C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行。解：（I），则因为函数h(x)存在单调递减区间，所以<0有解又因为x>0时，则ax2+2x－1>0有x>0的解.①当a>0时，y=ax2+2x－1为开口向上的抛物线，ax2+2x－1>0总有x>0的解；②当a<0时，y=ax2+2x－1为开口向下的抛物线，而ax2+2x－1>0总有x>0的解；则△=4+4a>0,且方程ax2+2x－1=0至少

5、有一正根.此时，－1

6、即于是在[1，+上单调递增故即这与②矛盾，假设不成立故C1在点M处的切线与C2在点N处的切线不平行变式新题型3：（文、理合用）曲线，当时，有极小值，当时，有极大值，且在处切线的斜率为。（1）求；（2）是否存在一点P，使得的图象关于点P中心对称？若存在，请求出点P坐标，并给出证明；若不存在，请说明理由。解题分析：第一小题三个条件三个未知量，解方程就行。第二小题：曲线关于点对称可采用解析几何中求轨迹方程的一种方法――坐标代入法（相关点法），求出对称曲线方程，比较对应项系数相等求得点坐标；函数图象关于点

7、P中心对称，也可采用结论对任意恒成立，比较对应项系数相等求得点坐标。备选题：已知抛物线C1:y=x2+2x和C2:y=–x2+a．如果直线l同时是C1和C2的切线，称l是C1和C2的公切线，公切线上两个切点之间的线段称为公切线段．（Ⅰ）a取什么值时，C1和C2有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；（Ⅱ）若C1和C2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分．（Ⅰ）解：函数y=x2+2x的导数=2x+2，曲线C1在点P（x1，）的切线方程是，即．①函数y=–x2+a的导数=–2x，曲线C2在点Q

8、（x2，）的切线方程是，即．②如果直线l是过P和Q的公切线，则①式和②式都是l的方程．所以消去x2得方程．若判别式△=4–4×2（1+a）=0，即a=时解得x1=，此时点P与Q重合．即当a=时C1和C2有且仅有一条公切线，由①得公切线方程为y=x–．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，当a<时C1和C2有两条公切线．设一条公切线上切点为P（x1，y1），Q（x2，y2），其中P在C1上，Q在C2上，则有x1+x2=–1，y1+y2===–1+a，线段PQ的中点为．同理，另一条公切线段的中点也