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1、1-1试证明两个空间矢量r1(r1,θ1,ϕ1)和矢量r2(r2,θ2,ϕ2)之间的夹角Θ的余弦为cosΘ=cosθcosθ+sinθsinθcos(ϕ−ϕ)121212解：矢量r1{r1sinθ1cosϕ1,r1sinθ1sinϕ1,r1cosθ1},矢量r{}rsinθcosϕ,rsinθsinϕ,rcosθ,222222222r1•r2=r1r2cosΘ,r1•r2=r1xr2x+r1yr2y+r1zr2z所以rr•12cosΘ=rr12=+coscosθθθsinsinθϕϕϕ(coscos+si
2、nsinϕ)12121212=+coscosθθθθϕϕsinsincos(−)121212()()()222R1R1-2设R=x−x′+y−y′+z−z′，试证∇R=，∇=−3。RRR当用算符作用在R或1/R上时，结果为∇=−∇′。解：∂∂∂RRR12(x−x′)12(y−y′′)12(z−z)R∇R=++=eeeeee++=xxyzyz∂∂∂xyz222RRRR112(x−x′)12(y−y′)12(z−z′)R∇=−e−e−e=−R23x23y23z3RRRR∂∂∂RRR12(x−x′)12(y−y
3、′′)12(z−z)R∇′R=++=eeeeee−−−=−xxyzyz∂∂∂x′′′yz222RRRR112(x−x′)12(y−y′)12(z−z′)R∇′=e+e+e=R23x23y23z3RRRR结果为∇=−∇′。很明显，这只是对R的函数作用才有此结果，对别的函数作用要另外考虑。−2r1-4已知B=r10ecosϕ+Z10sinϕ在（2，0，3）计算∇•B和∇×B1∂(ρa)1∂a∂a解：柱坐标系下∇•a=ρ+ϕ+zρ∂ρρ∂ϕ∂z−2r10ecosϕ−2r−4∴∇•B=−20ecosϕ=−15e(
4、2,0,3)r∂a∂a∂a∂ae∂(ρa)∂a∇×a=e(z−ϕ)+e(ρ−z)+z[ϕ−ρ]ρϕρ∂ϕ∂z∂z∂ρρ∂ρ∂ϕ−2r10cosϕ10esinϕ∇×B=r+z=5r(2,0,3)rr或者（5，0，0）矢量2-1两无限大相互平行的理想导体平板，间距为a，其间存在一随时间变化的电场。当取其中一块板为z=0平面时，电场强度为πzπctE=Asincosexaa式中c是光速。试求a.磁感应强度Bb.导电板上的面电荷密度c.导电板上的面电流密度解：a.πzπct满足在z=0,E=Asincosex和z
5、=a面上的边界条aa件，由Maxwell方程可作运算：∂B∂⎡πzπct⎤⎡ππzπct⎤∇×E=−=eAsincos=eAcoscosy⎢⎥y⎢⎥∂t∂z⎣aa⎦⎣aaa⎦Aπz⎡πct⎤πctAπzπctB=−ecoscosd=−ecossiny∫⎢⎥yca⎣a⎦acaa式中积分常数因与时间无关，系静磁场，所以令其为零。b.在z=0,和z=a面上,由边界条件σf=Enε0=0c.由边界条件kf=en×(H2−H1),en由1指向2，在z=0面上,⎧Be=e,H=,H=0⎪nz21⎪μ0⎨AπzπctA
6、πct⎪k=−cossine×e=esinfzyx⎪μcaaμca⎩0z=00在z=a面上,⎧Be=e,H=,H=0⎪nz12⎪μ0⎨AπzπctAπct⎪k=cossine×e=esinfzyx⎪μcaaμca⎩0z=a02-2设在一载有稳恒电流i的长直导线附近，有一矩形闭合回路，边长为a和b，其中b边平行于长导线。当回路在包含长导线的平面内以匀速v离长导线而运动时，求回路中的感应电动势。解：在矩形线圈内，B的方向与线圈平面的法线方向一致，所以有：iμiμρ+adρ′iμρ+a0b0b=0b′Φ=∫∫B
7、•ds=dρ′=∫lnρρ′ρ′2πρ2πρ2πiμρ+a=0bln2πρdΦiμ0bρdaiμ0abvε=−=−(1+)=dt2πρ+adtρ2πρ(ρ+a)2-3试利用坡印亭矢量分析稳恒载流直导线中的能量传输问题，并证明由此导线周围流入导线的功率恒等于该导线单位时间内的焦耳损耗。解：设稳恒载流直导线中的电流强度是I，导线表面的磁I场强度是H=eϕ，一段l长导线周围流入导线的功率：2πa2IIIlP=−(E×H)•ds=−(e×e)•e2πal=∫2zϕρ22πaσπaπaσ2l=IR,(其中R=)2π
8、aσ这正好是该导线单位时间内的焦耳损耗。2-4太阳在正午入射地球表面，与入射方向垂直的单位面62积上所具有的能量为1.53×10耳格秒⋅厘米称为太阳常数。试求在地球表面上太阳光的电磁场强度。设太阳半径R等于10厘米，太阳中心与地面间的距离s7×1013R是1.5×10厘米。求太阳表面上的电磁场强度。s−e7解：化为国际单位制。1焦耳=尔格102Ee62g=EH==1.53×10尔格/秒.厘米eeecμ04106232=1.53
