2、，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为x,y,z轴方向，把粒子沿x,y,z轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x方向，有∫p⋅dx=nh,(n=,3,2,1")xxx即p⋅2a=nh（2a：一来一回为一个周期）xx∴p=nh2/a,xx同理可得，p=nh2/b,p=nh2/c,yyzzn,n,n=,3,2,1"xyz22⎛2n22⎞1222π=⎜nxynz⎟粒子能量E=(p+p+p)=++n,n,n
3、=,3,2,1"nxnynz2mxyz2m⎜a2b2c2⎟xyz⎝⎠1221.3设质量为m的粒子在谐振子势V(x)=mωx中运动，用量子化条件求粒子能量E的可能取值。2提示：利用∫p⋅dx=nh,n=,2,1",p=2m[E−V(x)]V(x)解：能量为E的粒子在谐振子势中的活动范围为x≤a（1）122其中a由下式决定：E==Vx()maω。−a0axxa=21似水骄阳.2由此得a=2E/mω，（2）x=±a即为粒子运动的转折点。有量子化条件+a+a122222∫p⋅dx=2∫2m(E−mωx)dx
4、=2mω∫a−xdx2−a−a2π2=2mωa⋅=mωπa=nh22nh2=n得a==（3）mωπmω代入（2），解出E=n=ω,n=,3,2,1"（4）n222u22au积分公式：∫a−udu=a−u+arcsin+c22a1.4设一个平面转子的转动惯量为I，求能量的可能取值。2π2提示：利用∫pϕdϕ=nh,n=,2,1",pϕ是平面转子的角动量。转子的能量E=pϕ2/I。0解：平面转子的转角（角位移）记为ϕ。.它的角动量p=Iϕ（广义动量），p是运动惯量。按量子化条件ϕϕ2π∫pdϕ=2πp=
5、mh,m=,3,2,1"ϕϕ0∴p=mh，ϕ222因而平面转子的能量E=p2/I=m=2/I，m=,3,2,1"mϕ第二章波函数与Schrödinger方程K2.1设质量为m的粒子在势V(r)中运动。3（a）证明粒子的能量平ਛ值为E=⋅∫drω，2=**ω=∇ψψ+ψψV（能量密度）2m∂ωK（b）证明能量守恒公式+∇⋅=s0∂t2*K=⎛∂ψ∂ψ*⎞s=−⎜∇ψ+∇ψ⎟（能流密度）⎜⎟2m⎝∂t∂t⎠证：（a）粒子的能量平ਛ值为（设ψ已归一化）2似水骄阳2*⎛=2⎞3E=∫ψ⎜⎜−∇+V⎟⎟ψd
6、r=T+V（1）⎝2m⎠3*V=∫drψVψ（势能平均值）（2）23*⎛=2⎞T=∫drψ⎜⎜−∇⎟⎟ψ(动能平均值)⎝2m⎠2=∫3[]()*()*()=−dr∇⋅ψ∇ψ−∇ψ⋅∇ψ2m其中T的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为0。因此2=3*T=∫dr∇ψ⋅∇ψ（3）2m2=**结合式（1）、（2）和（3），可知能量密度ω=∇⋅ψψψψ∇+V,（4）2m3且能量平均值E=∫dr⋅ω。（b）由（4）式，得2⎡⎤∂∂ωψ=∇⋅=⎢⎥∗∇ψψ+∇⋅**∇+∂ψ∂ψ∗∂VVψψ+ψ∂⎢
7、tmt2∂∂tt⎥∂∂t⎣⎦2⎡⎤⎛⎞⎛⎞=∇=⎢⎥⋅∇⎜⎟∂∗ψψψ+∇−∇+∇+∂ψψψψψ*2⎜⎟∂∗ψψ∂2*∂∗VVψ+ψ*∂2mtt⎢⎥⎜⎟∂∂⎜⎟∂∂tt∂t∂t⎣⎦⎝⎠⎝⎠22K∂∗ψψ⎛⎞==22∂⎛⎞*=−∇⋅+sVV⎜⎟−∇+ψψ+⎜⎟−∇+∂∂tm⎝⎠22tm⎝⎠⎛⎞K⎜⎟∂∗∂ψψ*=−∇⋅+sEψ+ψ⎜⎟∂∂tt⎝⎠K∂=−∇⋅s+Eρ（ρ：几率密度）∂tK=−∇⋅s（定态波函数，几率密度ρ不随时间改变）∂ωK所以+∇⋅=s0。∂t2.2考虑单粒子的Schrödinger
8、方程2∂()K=2()()K[]K()K()Ki=ψr,t=−∇ψr,t+Vr+iVrψr,t（1）12∂t2mV与V为实函数。123似水骄阳（a）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。（b）证明粒子在空间体积τ内的几率随时间的变化为d3*=**K2V23*∫∫∫drψψ=−∫∫()ψ∇ψ−ψ∇ψ⋅Sd+∫∫∫drψψdt2im=τSτ证：（a）式（1）取复共轭，得2∂*=2**−i=ψ=−∇ψ+()V−iVψ（2）12∂t2m*ψ×（1）-ψ×（2）,得2∂()*=()*
