量子力学_答案_曾谨言.doc

量子力学_答案_曾谨言.doc

ID:56819566

大小:4.87 MB

页数:72页

时间:2020-07-13

量子力学_答案_曾谨言.doc_第1页
量子力学_答案_曾谨言.doc_第2页
量子力学_答案_曾谨言.doc_第3页
量子力学_答案_曾谨言.doc_第4页
量子力学_答案_曾谨言.doc_第5页
资源描述:

《量子力学_答案_曾谨言.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在应用文档-天天文库

1、第一章量子力学的诞生1.1设质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动,试用deBroglie的驻波条件,求粒子能量的可能取值。解:据驻波条件,有(1)又据deBroglie关系(2)而能量(3)1.2设粒子限制在长、宽、高分别为的箱内运动,试用量子化条件求粒子能量的可能取值。解:除了与箱壁碰撞外,粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发,则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变,仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为轴方向,把粒子沿轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件,对于x方向,有即(:一来一回为一个周期),同理可得,,,粒子能量1.3设质量

2、为的粒子在谐振子势中运动,用量子化条件求粒子能量E的可能取值。提示:利用解:能量为E的粒子在谐振子势中的活动范围为(1)其中由下式决定:。0由此得,(2)即为粒子运动的转折点。有量子化条件得(3)代入(2),解出(4)积分公式:1.4设一个平面转子的转动惯量为I,求能量的可能取值。提示:利用是平面转子的角动量。转子的能量。解:平面转子的转角(角位移)记为。它的角动量(广义动量),是运动惯量。按量子化条件,因而平面转子的能量,第二章波函数与Schrödinger方程2.1设质量为的粒子在势场中运动。(a)证明粒子的能量平均值为,(能量密度)(b)证明能

3、量守恒公式(能流密度)证:(a)粒子的能量平均值为(设已归一化)(1)(势能平均值)(2)其中的第一项可化为面积分,而在无穷远处归一化的波函数必然为。因此(3)结合式(1)、(2)和(3),可知能量密度(4)且能量平均值。(b)由(4)式,得(:几率密度)(定态波函数,几率密度不随时间改变)所以。2.2考虑单粒子的Schrödinger方程(1)与为实函数。(a)证明粒子的几率(粒子数)不守恒。(b)证明粒子在空间体积内的几率随时间的变化为证:(a)式(1)取复共轭,得(2)(1)-(2),得(3)即,此即几率不守恒的微分表达式。(b)式(3)对空间

4、体积积分,得上式右边第一项代表单位时间内粒子经过表面进入体积的几率(),而第二项代表体积中“产生”的几率,这一项表征几率(或粒子数)不守恒。2.3设和是Schrödinger方程的两个解,证明。证:(1)(2)取(1)之复共轭:(3)(3)(2),得对全空间积分:,(无穷远边界面上,)即。2.4)设一维自由粒子的初态,求。解:2.5设一维自由粒子的初态,求。提示:利用积分公式或。解:作Fourier变换:,,()(指数配方)令,则。2.6设一维自由粒子的初态为,证明在足够长时间后,式中是的Fourier变换。提示:利用。证:根据平面波的时间变化规律,

5、,任意时刻的波函数为(1)当时间足够长后(所谓),上式被积函数中的指数函数具有函数的性质,取,,(2)参照本题的解题提示,即得(3)(4)物理意义:在足够长时间后,各不同k值的分波已经互相分离,波群在处的主要成分为,即,强度,因子描述整个波包的扩散,波包强度。设整个波包中最强的动量成分为,即时最大,由(4)式可见,当足够大以后,的最大值出现在处,即处,这表明波包中心处波群的主要成分为。2.7写出动量表象中的不含时Schrödinger方程。解:经典能量方程。在动量表象中,只要作变换,所以在动量表象中,Schrödinger为:。第三章一维定态问题3.

6、1)设粒子处在二维无限深势阱中,求粒子的能量本征值和本征波函数。如,能级的简并度如何?解:能量的本征值和本征函数为若,则这时,若,则能级不简并;若,则能级一般是二度简并的(有偶然简并情况,如与)3.2)设粒子限制在矩形匣子中运动,即求粒子的能量本征值和本征波函数。如,讨论能级的简并度。解:能量本征值和本征波函数为,当时,时,能级不简并;三者中有二者相等,而第三者不等时,能级一般为三重简并的。三者皆不相等时,能级一般为6度简并的。如3.3)设粒子处在一维无限深方势阱中,证明处于定态的粒子讨论的情况,并于经典力学计算结果相比较。证:设粒子处于第n个本征态

7、,其本征函数.(1)(2)在经典情况下,在区间粒子除与阱壁碰撞(设碰撞时间不计,且为弹性碰撞,即粒子碰撞后仅运动方向改变,但动能、速度不变)外,来回作匀速运动,因此粒子处于范围的几率为,故,(3),(4)当时,量子力学的结果与经典力学结果一致。3.4)设粒子处在一维无限深方势阱中,处于基态,求粒子的动量分布。解:基态波函数为,(参P57,(12))动量的几率分布3.5)设粒子处于半壁高的势场中(1)求粒子的能量本征值。求至少存在一条束缚能级的体积。解:分区域写出:(2)其中(3)方程的解为(4)根据对波函数的有限性要求,当时,有限,则当时,,则于是(

8、5)在处,波函数及其一级导数连续,得(6)上两方程相比,得(7)即(7’)若令(8)则由(7)和(3),我们

当前文档最多预览五页,下载文档查看全文

此文档下载收益归作者所有

当前文档最多预览五页,下载文档查看全文
温馨提示:
1. 部分包含数学公式或PPT动画的文件,查看预览时可能会显示错乱或异常,文件下载后无此问题,请放心下载。
2. 本文档由用户上传,版权归属用户,天天文库负责整理代发布。如果您对本文档版权有争议请及时联系客服。
3. 下载前请仔细阅读文档内容,确认文档内容符合您的需求后进行下载,若出现内容与标题不符可向本站投诉处理。
4. 下载文档时可能由于网络波动等原因无法下载或下载错误,付费完成后未能成功下载的用户请联系客服处理。