2016-2017学年高中数学人教a版选修4-1学业分层测评6 圆周角定理 word版含解析

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1、学业分层测评(六)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．如图2112所示，若圆内接四边形的对角线相交于E，则图中相似三角形有(　　)图2112A．1对　　　　　　B．2对C．3对D．4对【解析】　由推论知：∠ADB＝∠ACB，∠ABD＝∠ACD，∠BAC＝∠BDC，∠CAD＝∠CBD，∴△AEB∽△DEC，△AED∽△BEC.【答案】　B2．如图2113所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD＝4，BD＝8，则圆O的半径等于(　　)图2113A．6B．8C．4D．5【解析】　∵AB为直径，∴∠ACB＝90°.又∵CD⊥A

2、B，由射影定理可知，CD2＝AD·BD，∴42＝8AD，∴AD＝2，∴AB＝BD＋AD＝8＋2＝10，∴圆O的半径为5.【答案】　D3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝2，则此三角形外接圆半径为(　　)【导学号：07370031】A.B．2C．2D．4【解析】　由推论2知AB为Rt△ABC的外接圆的直径，又AB＝＝4，故外接圆半径r＝AB＝2.【答案】　B4．如图2114所示，等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠A＝40°，D是的中点，E是的中点，分别连接BD，DE，BE，则△BDE的三内角的度数分别是(　　)图2

3、114A．50°，30°，100°B．55°，20°，105°C．60°，10°，110°D．40°，20°，120°【解析】　如图所示，连接AD.∵AB＝AC，D是的中点，∴AD过圆心O.∵∠A＝40°，∴∠BED＝∠BAD＝20°，∠CBD＝∠CAD＝20°.∵E是的中点，∴∠CBE＝∠CBA＝35°，∴∠EBD＝∠CBE＋∠CBD＝55°，∴∠BDE＝180°－20°－55°＝105°，故选B.【答案】　B5．如图2115，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝30°，则圆O的面积等于(　　)图2115A．4πB．8πC

4、．12πD．16π【解析】　连接OA，OB.∵∠ACB＝30°，∴∠AOB＝60°.又∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形．又AB＝4，∴OA＝OB＝4，∴S⊙O＝π·42＝16π.【答案】　D二、填空题6．如图2116，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则＝________.图2116【解析】　连接CD，∵AC是⊙O的直径，∴∠CDA＝90°.由射影定理得BC2＝BD·AB，AC2＝AD·AB，∴＝，即＝.【答案】　7．(2016·天津高考)如图2117，AB是圆的直径，弦

5、CD与AB相交于点E，BE＝2AE＝2，BD＝ED，则线段CE的长为________．图2117【解析】　如图，设圆心为O，连接OD，则OB＝OD.因为AB是圆的直径，BE＝2AE＝2，所以AE＝1，OB＝.又BD＝ED，∠B为△BOD与△BDE的公共底角，所以△BOD∽△BDE，所以＝，所以BD2＝BO·BE＝3，所以BD＝DE＝.因为AE·BE＝CE·DE，所以CE＝＝.【答案】　8.如图2118，AB为⊙O的直径，弦AC，BD交于点P，若AB＝3，CD＝1，则sin∠APD＝__________.图2118【解析】　由于AB为⊙O

6、的直径，则∠ADP＝90°，所以△APD是直角三角形，则sin∠APD＝，cos∠APD＝，由题意知，∠DCP＝∠ABP，∠CDP＝∠BAP，所以△PCD∽△PBA.所以＝，又AB＝3，CD＝1，则＝.∴cos∠APD＝.又∵sin2∠APD＋cos2∠APD＝1，∴sin∠APD＝.【答案】　三、解答题9．如图2119所示，⊙O中和的中点分别为点E和点F，直线EF交AC于点P，交AB于点Q.求证：△APQ为等腰三角形．图2119【证明】　连接AF，AE.∵E是的中点，即＝，∴∠AFP＝∠EAQ，同理∠FAP＝∠AEQ.又∵∠AQP＝∠

7、EAQ＋∠AEQ，∠APQ＝∠AFP＋∠FAP，∴∠AQP＝∠APQ，即△APQ为等腰三角形．10．如图2120(1)所示，在圆内接△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的一点，E是直线AD和△ABC外接圆的交点．图2120(1)求证：AB2＝AD·AE；(2)如图2120(2)所示，当D为BC延长线上的一点时，第(1)题的结论成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【解】　(1)证明：如图(3)，连接BE.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵∠ACB＝∠AEB，∴∠ABC＝∠AEB.又∠BAD＝∠EAB，∴△ABD∽△AEB，∴

8、AB∶AE＝AD∶AB，即AB2＝AD·AE.(2)如图(4)，连接BE，结论仍然成立，证法同(1)．[能力提升]1．如图2121，已知AB是半圆O的直径，弦AD，BC相交于点P，那么等于(　　)【导学号：