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1、出卷老师王立伟审卷老师适用班级数学06教学班王立伟1班序号姓名自然班学号(实变函数)课程考试试卷（A）卷一、填空题(32分)。1.设=(0,)，=(0,),=1,2则，。2.点集E为闭集的充要条件是__________。(写出一个即可)3.设E为可数点集，则mE=__________。4.(Carathéodory条件)设E,我们称E是L可测的，是指如果对任一点集T都有_____________________________。5.(可测函数与简单函数的关系)设f(x)在E上可测，则f(x)总可以表示成________________________________
2、_________。6.若f(x)在E上可测，则
3、f(x)
4、在E上可测，但反之未必成立，试举例说明______________________。7.(L积分的绝对连续性)设f(x)在E上可积分，则对任何可测集AE，有_______________________。8.(Jordan分解)在[a,b]上的任一有界变差函数f(x)都可表示为_____________________________________。二、叙述题(8分)。9.请叙述Lebesgue控制收敛定理，并给出它的一个推论。三、证明题（60分）10.设A是一个无穷集合，则必有，使，而可数。11.设E,
5、若对任意的>0,存在闭集FE，使得m（E-F）<。证明E是可测集。12．设函数列f(x)(n=1,2)在有界集E上“基本上”一致收敛于f(x),证明{f}a.e.收敛于f。13.设{f}为E上非负函数列，若=0，则。14.设f(x)是[a,b]上的有限函数，若存在>0,使对任何，都有则f(x)是[a,b]上的有界变差函数。15.设为E上可测函数，令,则当<+a.e.于E时，有=.出卷老师王立伟审卷老师适用班级数学06教学班王立伟1班安徽工程大学2008——2009学年第一学期第11页共12页第12页共12页(实变函数)课程考试试卷（A）卷答案及评分标准一、填空题(4
6、8=32分)。1.（0，），2.3.04.5.一列简单函数{}的极限函数，而且还可办到。6.，其中E是[0，1]中的不可测集。7.8.两个增函数之差二、叙述题(8分)9.设(1){}是可测集E上的可测函数列；(2)于E，=1,2,,且在E上可积分；(3),则在E上可积分且。(6分)推论将条件(3)改为于E，定理结论仍成立。(8分)三、证明题(610=60分)。10.证明由于A是一个无穷集合，所以含有一个无穷子集B。设B={}。令则且均为可数集。(4分)令则是可数集。(8分)又因也是可数集，所以。由所以证毕。(10分)11.证明由条件对任何正整数，存在闭集，使。(2分
7、)令，则是可测集且。由于对一切正整数，有。故，所以是可测集。(8分)因此是可测集。证毕。(10分)12.证明因为在E上“基本上”一致收敛于，所以对任意>0,存在可测集，使而在上一致收敛于(4分)设是中不收敛点的全体，则对任意，(因为上收敛)，所以，令得，所以在E上a.e.收敛于(不必有有界条件)。证毕。(10分)。13.证明对任意，由非负可知。(4分)因此，(8分)即。证毕。(10分)14.证明对任意，因第11页共12页第12页共12页，所以，(2分)对于[a,b]的任何分划，则对应于分划的变差=(8分)因此即是[a,b]上的有界变差函数，证毕。(10分)15.证明
8、令，所以又在上，所以故(4分)在上，且，由Levi定理有(6分)所以=即=。证毕。（10分）出卷老师王立伟审卷老师适用班级数学06教学班王立伟1班序号姓名自然班学号安徽工程大学2008——2009学年第一学期第11页共12页第12页共12页(实变函数)课程考试试卷（B）卷考试时间120分钟，满分100分要求：闭卷[√]，开卷[]；答题纸上答题[√]，卷面上答题[](填入√)一、填空题(32分)。1.设=[0,1+],=1,2,。2.点集E为开集的充要条件是__________。(写出一个即可)3.设E为[0,1]中的全体有理数，则=__________。4.设AB=
9、，则使成立的条件是______________。5.(可测函数与简单函数的关系)设f(x)在E上可测，则f(x)总可以表示成__________________________。6.设f(x)在可测集E（mE<）上的有界函数，则f(x)在E上L可积的充要条件是________________。7.(L积分的绝对连续性)设f(x)在E上可积分，则对任何可测集AE，有_______________________。8.(Jordan分解)在[a,b]上的任一有界变差函数f(x)都可表示为_____________________________________。二、
