高考数学第一轮复习---指数与对数函数

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1、2007年高考数学第一轮复习---指数与对数函数一、指数与对数运算:(一)知识归纳:1.根式的概念:①定义:若一个数的次方等于,则这个数称的次方根.即,若,则称的次方根,1)当为奇数时,次方根记作;2)当为偶数时,负数没有次方根,而正数有两个次方根且互为相反数,记作.②性质:1);2)当为奇数时,;3)当为偶数时,2.幂的有关概念:①规定:1)N*,2),n个3)Q,4)、N*且②性质:1)、Q),2)、Q),3)Q)(注)上述性质对r、R均适用.3.对数的概念:①定义:如果的b次幂等于N,就是,那么数称以为底N的对数,记作其中称对数的底,N称真数.1)以10为底的对数称常用对

2、数,记作,地址:西安经济技术开发区凤城一路8号御道华城A座10层电话:029-86570103第16页共16页2)以无理数为底的对数称自然对数,记作②基本性质:1)真数N为正数(负数和零无对数),2),3),4)对数恒等式:③运算性质:如果则1);2);3)R).④换底公式:1),2)(二)学习要点:1.(其中)是同一数量关系的三种不同表示形式,因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化,选择最好的形式进行运算.在运算中,根式常常化为指数式比较方便,而对数式一般应化为同应化为同底.2.要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式;进行数式运算的难点是运用各种变换技巧,如配方、因式

3、分解、有理化(分子或分母)、拆项、添项、换元等等,这些都是经常使用的变换技巧,必须通过各种题型的训练逐渐积累经验.【例1】解答下述问题:(1)计算:[解析]原式=地址:西安经济技术开发区凤城一路8号御道华城A座10层电话:029-86570103第16页共16页(2)计算.[解析]分子=;分母=;原式=.(3)化简:[解析]原式=.(4)已知:值.[解析].[评析]这是一组很基本的指数、对数运算的练习题,虽然在考试中这些运算要求并不高,但是数式运算是学习数学的基本功,通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则,以及学习数式变换的各种技巧.【例2】解答下述问题:(1)已知,求证:[

4、解析],地址:西安经济技术开发区凤城一路8号御道华城A座10层电话:029-86570103第16页共16页=(2)若,求的值.[解析]去分母得,、是二次方程的两实根,且,解得,[评析]例2是更综合一些的指数、对数运算问题,这种问题更接近考试题的形式,应多从这种练习中积累经验.二、指数函数与对数函数(一)学习要点:1.指数函数:①定义:函数称指数函数,1)函数的定义域为R,2)函数的值域为,3)当时函数为减函数,当时函数为增函数.②函数图像:地址:西安经济技术开发区凤城一路8号御道华城A座10层电话:029-86570103第16页共16页1)指数函数的图象都经过点(0,1),

5、且图象都在第一、二象限,2)指数函数都以轴为渐近线(当时,图象向左无限接近轴,当时,图象向右无限接近轴),3)对于相同的,函数的图象关于轴对称.①,②,③①,②,③,③函数值的变化特征:2.对数函数:①定义:函数称对数函数,1)函数的定义域为,2)函数的值域为R,3)当时函数为减函数,当时函数为增函数,4)对数函数与指数函数互为反函数.②1)对数函数的图象都经过点(0,1),且图象都在第一、四象限,2)对数函数都以轴为渐近线(当时,图象向上无限接近轴;当时,图象向下无限接近轴).①,②,③.①,②,③.4)对于相同的,函数的图象关于轴对称.③函数值的变化特征:地址:西安经济技术

6、开发区凤城一路8号御道华城A座10层电话:029-86570103第16页共16页(二)学习要点:1.解决含指数式或对数式的各种问题,要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质,更关键是熟练运用指数与对数函数的性质,其中单调性是使用率比较高的知识.2.指数、对数函数值的变化特点(上面知识结构表中的12个小点)是解决含指数、对数式的问题时使用频繁的关键知识,要达到滚瓜烂熟,运用自如的水平,在使用时常常还要结合指数、对数的特殊值共同分析.3.含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型,解决这类问题的最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类.4.在学习中含有指数、对数的复合函数问题

7、大多数都是以综合形式出现,如与其它函数(特别是二次函数)形成的复合函数问题,与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等,因此要努力提高综合能力.【例1】已知是奇函数(其中,(1)求的值;(2)讨论的单调性;(3)求的反函数;(4)当定义域区间为时,的值域为,求的值.[解析](1)对定义域内的任意恒成立,,当不是奇函数,,(2)定义域为,求导得,①当时,在上都是减函数;②当时,上都是增函数;(另解)设,任取,地址:西安经济技术开发区凤城一路8号御道华城A座10层电话:029-865701

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