常微分方程课程综合练习参考解答

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1、“常微分方程”课程综合练习参考解答一、填空题1．满足的条形区域2．全平面3．，（或不含x轴的上半平面）4．5．充分6．7．8．，9．10．211．必要12．13．14．15．16．恒等于零17．线性无关18．稳定焦点19．不稳定结点20．21．，1622．齐次23．24．25．不能26．相切27．满足的平面区域28．任何一点不为零29．n+130．31．线性无关二、单项选择题1．C2．D3．B4．B5．A6．C7．D8．A9．C10．C11．B12．C13．D14．C15．A16．A17．B18．D19．C20．A21．D22．B23．C24．C25．C26．A27．D28．D29．

2、A30．B31．B32．B三、计算题(求下列方程的通解或通积分)1．解齐次方程的通解为：设原方程的通解为：代入原方程，得所以，原方程的通解为：2．解将方程改写为令，则代入上式得……分离变量积分得原方程的通积分为：…3．解分离变量积分，得164．解，因此，原方程是全微分方程．取，原方程的通积分为或即5．解因为，所以原方程是全微分方程．取，原方程的通积分为即6．解因为，所以原方程是全微分方程．取，原方程的通积分为即7．解令，则，原方程的参数形式为16由，有积分有：得原方程参数形式通解8．解方程改写成即有积分，得通积分：9．解积分因子为原方程的通积分为：即10．解原方程是恰当导数方程，可写

3、成即分离变量解此方程，通积分为11．解特征方程特征根对应的特征向量为16对应的特征向量为原方程的通解为：12．解特征方程特征根为。和对应的特征向量分别是和原方程组的通解是：13．解特征方程为特征根对应的特征向量为对应的特征向量为原方程组的通解为：14．解特征方程为特征根对应的特征向量分别为和16原方程组的通解为：15．解对应齐次方程的特征方程是特征根为，齐次方程的通解为因为是一重特征根．故非齐次方程有形如的特解，代入原方程，得，故原方程的通解为16．解对应齐次方程的特征方程为特征根为，故齐次方程的通解为由于是一重特征根，故原方程有形如为的特解，代入原方程，得，所以，原方程的通解为17

4、．解先求出齐次方程的通解为：令非齐次方程的特解为：满足方程组解出，16，原方程的通解为：18．解对应齐次方程的特征方程为，特征根为，，齐次方程的通解为因为是特征根。所以，设非齐次方程的特解为代入原方程，比较系数确定出，，原方程的通解为：19．解：将原方程整理为，分离变量，得等号两边积分通积分为20．解：将原方程分离变量，得等号两边积分通积分为21．解：将方程整理为齐次方程令，则，代入原方程有：16分离变量，得积分得：，原方程的通积分为：22．解：令，则当时等号两边积分23．解：令，则代入方程得所以24．解：令，则代入方程得即再令，则得16所以25．解：因为所以原方程为全微分方程．取，

5、，于是通积分为即26．解：积分因子，则为全微分方程．取，，于是通积分为即27．解：因为，取，，于是通积分为即28．解：原方程是克莱洛方程，通解是29．解：原方程对应的齐次方程的特征方程为16特征根为，故齐次通解是由于是特征根，故原方程有形如的特解．代入原方程，确定出，所求通解为30．解：原方程对应的齐次方程的特征方程为，特征根为，故齐次方程的通解为设原方程的一个特解为，代入原方程得比较系数得，解得，，．由此得原方程的通解为31．解：特征方程为即特征根为，对应特征向量应满足16可确定出同样可算出对应的特征向量为所以，原方程组的通解为32．解：特征方程为特征根为满足解得取，则．于是四、证

6、明题1．证明由已知条件满足方程这里。而该方程过的任一解为16于是2．证明方程在全平面上满足解的存在惟一性定理的条件，又是方程的常数解．对平面上任取的，若则对应的是常数解其存在区间显然是，若)则过该点的解可以向平面无穷远无限延展，但是上下又不能穿越和，于是解的存在区间必是．3．证明因为，，由已知条件，方程在全平面上满足解的存在惟一性定理的条件．又显然，是方程的一个常值解，且满足初值条件．因此，由解的惟一性，若函数是该方程满足的解，那么．4．证明先求出原方程的通解表达式为再取，此广义积分由在区间上连续有界而保证收敛．下面往证取此常数的解在上有界．不妨设，．取的解为于是即，．5．证明由已知

7、条件知方程存在零解．该方程满足解的存在惟一性定理条件．设是方程的一个非零解，假如它满足，，16由于零解也满足上述条件，以及方程有零解存在，那么由解的惟一性有，这与是非零解矛盾．6．证明先证必要性若是周期解，则有在上成立，令有必要性得证。再证充分性设，在恒等式中令，并由有可知也是方程的解，并且有于是，由解的唯一性有成立．7．证明原方程的特征方程为特征根为显然，当时，特征根只有3种：（1）两个相异实根且（2）二重实根，且；（3）一对共轨复根，，．此时，通解分别