常微分方程(含解答

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1、第八章常微分方程【教学要求】一、了解微分方程的基本概念：微分方程，微分方程的阶、解、特解、通解、初始条件和初值问题，线性微分方程。二、熟练掌握一阶可分离变量微分方程的解法。三、熟练掌握一阶线性非齐次微分方程的解法——常数变易法和公式法。四、理解线性微分方程解的性质和解的结构。五、熟练掌握二阶线性常系数齐次微分方程的解法——特征根法。会根据特征根的三种情况，熟练地写出方程的通解，并根据定解的条件写出方程特解。六、熟练掌握二阶线性常系数非齐次微分方程，当自由项f(x)为某些特殊情况时的解法——待定系数法。所谓f(x)为某些特殊情况是指f(x)为多项式函数，指数函数。关键是依据f(x)

2、的形式及特征根的情况，设出特解y*,代入原方程，定出y*的系数。【教学重点】一阶可分离变量微分方程、一阶线性微分方程、二阶线性常系数微分方程的解法。【典型例题】解：B解：C解：B特征根为∴∴考试题型试题分为填空题、单项选择题和计算题(包括应用题)，其中填空题和单项选择题的分数占总分数的30%左右，此类题目主要考查课程中所学的概念、公式、性质等知识，并配有一些经过简单计算就能得出结果的小计算题；试卷中计算题(包括应用题)的分数占总分数的70%左右，主要考查学生对课程中所学过的基本计算方法和技能的掌握情况。总之，同学们要在认真完成平时作业的基础上，对照考核说明有的放矢地重点复习。另外

3、，考虑到成人和开放教育的特点，本课程是半开卷考试，同学们要认真整理和利用好A4备考纸，最后祝同学们考出好成绩。第二部分综合练习一、填空题（每小题2分，共12分）1.若。2.。3.函数f(x)=在点____________处取得极小值。4.若=。5.。二、单选题（每小题2分，共12分）1.在（）时为无穷小量。2.若f(x)在x=处连续，则有（）。3.曲线A.单调增加且凸的B.单调增加且凹的C.单调减少且凸的D.单调减少且凹的4.设5.以下命题正确的是（）。收敛B.收敛级数部分和有极限C.p级数当p<1时收敛D.级数与级数发散，则级数发散6.下列微分方程中，（）是可分离变量的微分方程

4、。三、计算题（本题6分）求幂级数的收敛区间。 四、计算题（每小题6分，共18分）。3.由方程。五、计算题（每小题6分，共18分）1.2.3.六、计算题（每小题8分，共16分）1.求满足的特解。2.求的通解。七、应用题（每小题9分，共18分）1.求内接于抛物线与X轴所围区域内的矩形的最大面积。2.求由曲线所围成平面图形的面积。 【参考答案】一、填空题（每小题2分，共12分）1.2.03.4.5.16.二、单选题（每小题2分，共12分）1.B2.C3.B4.A5.B6.A三、计算题（每小题6分，共18分）1.2.3.四、计算题（每小题6分，共18分）1.2.3.五、计算题（每小题8分

5、，共16分）1.2.对应齐次方程的通解为：设原方程的一个特解为故原方程的一个特解为因此原方程的通解为：六、计算题（本题6分）七、应用题（每小题9分，共18分）1.设矩形与抛物线在第一象限的交点为（x，y）则所求面积S=2xy=因此最大矩形面积为2.所围面积