概率论第三章答案

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1、习题三1.箱子里装有12只开关，其中只有2只次品，从箱中随机地取两次，每次取一只，且设随机变量X，Y为试就放回抽样与不放回抽样两种情况，写出X与Y的联合分布律.解：先考虑放回抽样的情况：则此种情况下，X与Y的联合分布律为XY0101再考虑不放回抽样的情况20XY01011.将一硬币连掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示在三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出（X,Y）的联合分布律及边缘分布律.解：由已知可得：X的取值可能为0，1，2，3；Y的取值可能为1，3；则由硬币出现正面和反面的概率各为，可知20XY01230300011.把三个球随机地投入三个盒

2、子中去，每个球投入各个盒子的可能性是相同的，设随机变量X与Y分别表示投入第一个及第二个盒子中的球的个数，求二维随机变量(X,Y)的概率分布及边缘分布.解：由已知可得：X的取值可能为0，1，2，3；Y的取值可能为0，1，2，3；则，，，，20则二维随机变量（X,Y）的概率分布及边缘分布为XY0123012300000011.设(X,Y)的概率密度为求：（1）P﹛(x,y)∈D﹜,其中D=﹛(x,y)

3、x<1,y<3﹜;（2）P﹛(x,y)∈D﹜,其中D=﹛(x,y)

4、x+y<3﹜.解：（1）∵D={(x,y)

5、x<1,y<3}∴（2）∵D={(x,y)

6、x+y<3}20∴5.设(

7、X,Y)的概率密度为求：（1）系数c；（2）(X,Y)落在圆内的概率.解：（1）由，得，可求得（2）设，则6.已知随机变量X和Y的联合概率密度为求X和Y的联合分布函数.解：∵随机变量X和Y的联合概率密度为∴当x<0,或y<0时，F(x,y)=0;20当时，当时，当时，当时，综上可得，X和Y的联合分布函数为7.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为（1）求常数k；（2）求P﹛0

8、密度为∴当0

9、部分为D,记空白部分为D120综上可得：方程有实根的概率为另解：方程有实根的充要条件是令则当x<0时则当0≤x≤b2时由于X与Y都服从上的均匀分布，即其密度函数各为当0≤x≤b2时，当x>b2时显然有∴Z1的概率密度函数为而当当-4b0,而当z≤-4b，时，此时即综上可得：方程有实根的概率为2010.设（X,Y）的概率密度为求边缘概率密度和解：X的边缘概率密度为，当x≤0时，当x>0时，Y的边缘概率密度为当x≤0时，，当y>0时，而11.设X,

10、Y相互独立，其概率密度为求Z=X+Y的概率密度.解：由已知得当z<0时，当0≤z≤1时，20当z>1时，∴Z=X+Y的概率密度为12.设随机变量（X,Y）的概率密度为求Z=X—Y的概率密度.解：∵Z=X—Y的分布函数为∴Z=X—Y的概率密度为，∴Z=X—Y的概率密度为13.设随机变量（X,Y）的概率密度为求的概率密度.20解：设的分布函数为当时，当时，∴的概率密度14.设二维随机变量（X,Y）在矩形上服从均匀分布，试求边长为X和Y的矩形面积S的概率密度f(s).解：由已知可得随机变量（X,Y）的概率密度为设边长为X和Y的矩形面积S的分布函数为F(s)，则∴∴矩形面积S的概率密度

11、2015．设X和Y为两个随机变量，且求解：同理可求16.设（X,Y）的联合概率密度为求：（1）（2）边缘概率密度；(3)解：（1）由已知，得20同理可知而又（2）X的边缘概率密度为由于f(x,y)关于x,y地位的对称性，得17.设X,Y是相互独立且服从同一分布的两个随机变量，已知X的分布律为又设试写出变量的分布律及边缘分布律并求解：由已知得：20则变量的分布律及边缘分布律为：1231230001而18.设X关于Y的条件概率密度为而Y的概率密度为20求解：由已知得：19.设（X,Y）的概率密度