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1、指数平滑法数学模型的参数估计和预测论文【关键词】数学模型；,,参数估计；,,预测；,,检验,,,,摘要：建立二次指数平滑法数学模型，对模型中的参数进行了估计和检验且对模型进行了预测。关键词：数学模型；参数估计；预测；检验1二次指数平滑法的定义及分布11一次指数平滑法的定义设X1，X2，…，Xn为时间t的观察值(t=1,2,…，n)，独立且服从正态分布N(0，σ).freelt→∞(1-α)t=0那么St(1)=αxt+α(1-α)xt-1+(1-α)2αXt-2+…+α(1-α)t-1X112二次指数平滑法的定义设S1(1)，S2
2、(1)，…，Sn(1)为线性趋势某时间序列t的一次指数平滑值，St(2)为时间t的二次指数平滑值，若St(2)=αSt(1)+(1-α)St-1(2),(t=1,2,…,n,0≤α1)根据递推关系可得：St(2)=αSt(1)+α(1-α)St-1(1)+α(1-α)2St-2(1)+…+α(1-α)t-1St(1)因E(Xi)=0,Var(Xi)=σ2,Xi独立。均值E(St(1))=E［αxt+α(1-α)xt-1+(1-α)2αXt-2+…+α(1-α)t-1X1］=0Var(St(1))=Var［αxt+α(1-α)xt-
3、1+(1-α)2αXt-2+…+α(1-α)t-1X1］=Var(αxt)+Var［α(1-α)xt-1］+Var［(1-α)2αXt-2］+…+Var［α(1-α)t-1X1］=α2Var(xt)+α2(1-α)2Var(xt-1)+(1-α)4α2Var(Xt-2)+…+α2(1-α)2(t-1)Var(X1)=α2［1+(1-α)2+(1-α)4+…+(1-α)2t-2］σ2=α［1-(1-α)2t］2-ασ2E(St(2))=E［αSt(1)+α(1-α)St-1(1)+α(1-α)2St-2(1)+…+α(1-α)t-1
4、S1(1)］=0Var(St(2))=Var［αSt(1)+α(1-α)St-1(1)+α(1-α)2St-2(1)+…+α(1-α)t-1S1(1)］=α2Var(St(1))+α2(1-α)2Var(St-1(1))+α2(1-α)4Var(St-2(1))+…+α2(1-α)2t-2Var(S1(1))=α2α［1-(1-α)2t］2-ασ2+α2(1-α)2α［1-(1-α)2t-2］2-ασ2+…+α3(1-α)2t-21-(1-α)22-ασ2=α3σ22-α{1-(1-α)2t+(1-α)2［1-(1-α)2t-2］
5、+(1-α)4［1-(1-α)2t-4］+…+(1-α)2t-2［1-(1-α)2］}=α2σ2(2-α)2{1-(1-α)2t-t(1-α)2t(2α-α2)］因为St(1)是Xt(t=1,2,…,n)的线性组合，而St(2)是St(1)的线性组合且Xt∈N(0,σ2)，所以St(2)、St(1)也服从正态分布：St(1)~N(0,α［1-(1-α)2］2-ασ)2St(2)~N(0,α2σ2(2-α)2［1-(1-α)2t-t(1-α)2t(2α-α2)］)2建立数学模型假定：序列S1(1)，S2(2)，……，Sn(1)具有线
6、性趋势变动预测方程为：t+T=t+tTt=2St(1)-St(2)t=α1-α(2St(1)-St(2))t+T是第t+T期的预测值，t为预测模型所处的时间周期，T为由预测模型所处的时间周期至需要预测的时间之间的周期数，t，t为参数。E(t)=E(2St(1)-St(2))=0E(t)=E(α1-α(St(1)-St(2)))=0Var(t)=Var(2St(1)-St(2))=4VarSt(1)+VarSt(2)=4α［1-(1-α)2］2-ασ2+α2σ2(2-α)2［1-(1-α)2t-t(1-α)2t(2α-α2)］=f(
7、α)σ2Var(t)=Var(α1-α(St(1)-St(2)))=α2(1-α)2Var(St(1)-St(2))=α2(1-α)2{σ2α［1-(1-α)2］2-α+α2σ2(2-α)2［1-(1-α)2t-t(1-α)2t(2α-α2)］}=g(α)σ2因为t，t是Xt的线性组合，所以t，t分别服从正态分布N(0,f(α)σ2),N(0,g(α)σ2)。3对参数作出假设检验假设：H0:t=0,H1:t≠0t~N(0,g(α)σ2),N=t-0g(α)σ2~N(0,1)因为σ2未知，用无偏估计s2=1n-1∑(Xi-)2代替σ
8、2。Z=(n-1)Sn2σ2~X(n-1)2t=NZn-1=tg(α)σ2／S2σ2=tg(α)S2~tn-1取显著水平α，确定拒绝域为m=(-∞,-t1-α2(n-1))∪(t1-α2(n-1),+∞)，其中t1-α2(n-1)满足p{
9、t
10、≥t
