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1、指数平滑法数学模型的参数估计和预测【关键词】数学模型；,,参数估计；,,预测；,,检验,,,, 摘要：建立二次指数平滑法数学模型，对模型中的参数进行了估计和检验且对模型进行了预测。 关键词：数学模型；参数估计；预测；检验 1二次指数平滑法的定义及分布 11一次指数平滑法的定义 设X1，X2，…，Xn为时间t的观察值(t=1,2,…，n)，独立且服从正态分布N(0，σ)，对一般情况，做代换Yt=Xt-μ,St(1)为时间序列中时间t达到一次指数平滑值的定义： St(1)=αxt+(1+α)St-1(1)(t=1,2,…,n,0≤α<1) 根据递推
2、关系可得： St(1)=αxt+(1-α)［αxt-1+(1-α)St-3(1)］ =αxt+α(1-α)xt-1+(1-α)2［αXt-2+(1-α)St-3(1)］ =αxt+α(1-α)xt-1+(1-α)2αXt-2+…+α(1-α)t-1X1+(1-α)tS0(1)］ 因0≤α<1，所以t→∞时，limt→∞(1-α)t=0 那么 St(1)=αxt+α(1-α)xt-1+(1-α)2αXt-2+…+α(1-α)t-1X1 12二次指数平滑法的定义 设S1(1)，S2(1)，…，Sn(1)为线性趋势某时间序列t的一次指数平滑值，St
3、(2)为时间t的二次指数平滑值，若St(2)=αSt(1)+(1-α)St-1(2),(t=1,2,…,n,0≤α<1) 根据递推关系可得： St(2)=αSt(1)+α(1-α)St-1(1)+α(1-α)2St-2(1)+…+ α(1-α)t-1St(1) 因E(Xi)=0,Var(Xi)=σ2,Xi独立。 均值E(St(1))=E［αxt+α(1-α)xt-1+(1-α)2αXt-2+…+ α(1-α)t-1X1］=0 Var(St(1))=Var［αxt+α(1-α)xt-1+(1-α)2αXt-2+…+α(1-α)t-1X1］
4、=Var(αxt)+Var［α(1-α)xt-1］+Var［(1-α)2αXt-2］+…+Var［α(1-α)t-1X1］ =α2Var(xt)+α2(1-α)2Var(xt-1)+(1-α)4α2Var(Xt-2)+…+α2(1-α)2(t-1)Var(X1) =α2［1+(1-α)2+(1-α)4+…+(1-α)2t-2］σ2 =α［1-(1-α)2t］2-ασ2 E(St(2))=E［αSt(1)+α(1-α)St-1(1)+α(1-α)2St-2(1)+…+ α(1-α)t-1S1(1)］=0 Var(St(2))=Var［αSt(1)+α(1
5、-α)St-1(1)+α(1-α)2St-2(1)+…+α(1-α)t-1S1(1)］ =α2Var(St(1))+α2(1-α)2Var(St-1(1))+α2(1-α)4Var(St-2(1))+…+α2(1-α)2t-2Var(S1(1)) =α2α［1-(1-α)2t］2-ασ2+α2(1-α)2α［1-(1-α)2t-2］2-ασ2+…+α3(1-α)2t-21-(1-α)22-ασ2 =α3σ22-α{1-(1-α)2t+(1-α)2［1-(1-α)2t-2］+(1-α)4［1-(1-α)2t-4］+…+(1-α)2t-2［1-(1-α)2］}
6、 =α2σ2(2-α)2{1-(1-α)2t-t(1-α)2t(2α-α2)］ 因为St(1)是Xt(t=1,2,…,n)的线性组合，而St(2)是St(1)的线性组合且Xt∈N(0,σ2)，所以St(2)、St(1)也服从正态分布： St(1)~N(0,α［1-(1-α)2］2-ασ)2 St(2)~N(0,α2σ2(2-α)2［1-(1-α)2t-t(1-α)2t(2α-α2)］) 2建立数学模型 假定：序列S1(1)，S2(2)，……，Sn(1)具有线性趋势变动 预测方程为： t+T=t+tTt=2St(1)-St(2) t=α1-α(2St
7、(1)-St(2)) t+T是第t+T期的预测值，t为预测模型所处的时间周期，T为由预测模型所处的时间周期至需要预测的时间之间的周期数，t，t为参数。 E(t)=E(2St(1)-St(2))=0 E(t)=E(α1-α(St(1)-St(2)))=0 Var(t)=Var(2St(1)-St(2))=4VarSt(1)+VarSt(2) =4α［1-(1-α)2］2-ασ2+α2σ2(2-α)2［1-(1-α)2t-t(1-α)2t(2α-α2)］ =f(α)σ2 Var(t)=Var(α1-α(St(1)-St(2))) =α2(1-α)2Va
8、r(St(
