抽象函数与分段函数

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1、抽象函数与分段函数一内容提要：1抽象函数是指没有给出具体的函数解析式，而只是给出该函数所具备的某些性质的函数。2常见的以初等函数为模型的抽象函数有（见下表）特殊函数抽象函数为常数）且且3若函数在其定义域的不同子集上，因为对应法则分别不同，自变量和相应的函数之间的关系需用几个不同的式子表示，这种表示形式的函数称为分段函数。二典例分析：例1对于函数中任意的有如下结论：（1）；（2）；（3）（4）；（5）当时，上述结论中正确结论的序号是．答：（2）（3）(5)。说明：在判断某具体函数是否满足某一性质时，可将具体函数代入检验。

2、如果能找出一个确定的使得性质不成立，则该函数不满足该性质，无需再做进一步检验。变式1：老师给出一个函数，甲，乙，丙，丁四位同学分别指出了这个函数的一个性质：甲：对于，都有；7乙：在上函数递减；丙：在上函数递增；丁：不是函数的最小值。如果其中恰有3人说得正确，则这个函数可能是___________。（只写出一个符合条件的函数即可）例2已知奇函数是定义在上的减函数，若，求实数的取值范围。解：由题意得，因为函数是定义在上的减函数，所以，解得。说明：（1）对于抽象函数中的不等式或方程或其它问题，一般会采用性质法，即利用函数的性

3、质（如奇偶性，单调性，对称性，周期性等）来解决问题。本例主要利用单调函数中的知二推一法：①单调递增（减）；②定义域内任意两个数，且；③（）。即上面任意两个作为条件，都可推出第三个结论来。（2）有些抽象函数是由特殊函数背景抽象而得到的。如上表，正比例函数，可抽象为。（如下面变式2中的（3））。（3）许多抽象函数是采用赋值法求值的，一般要根据所要证明的或求解的问题使自变量取某些数值，如求等，从而来解决问题。如下面变式2中的（2））。变式2：已知函数是定义在R上的减函数，且对于任意的实数都满足，。（1）求；（2）若，求的取值

4、范围。7（3）试着举一个满足题设的具体函数来。例3设函数（1）求的值；（2）若求的取值范围。解：（1）因为，所以=1，所以=。（2）当时，，，又，当时，又，综上所述所求的取值范围为。说明：（1）在分段函数求值时，必须明确自变量所在的范围，方可代入相应的解析式；（2）当知道函数值在求自变量的值时，必须代入每一个解析式解出相应的自变量，但必须检验自变量与函数式的相应关系（如后面强化训练中10（2））。（3）当解分段函数所组成的不等式时，对每一个解析式解出的相应的自变量，必须在相应解析式的子集上。变式3：已知函数，若。（1）

5、求函数的解析式；（2）求方程的解。例4O2530t(天)P(元)75704419。某商品在近天内每件的销售价格元和时间的关系如图所示．（1）请确定销售价格（元）和时间（天）的函数解析式；（2）该商品的日销售量（件）与时间（天）的关系是：，求该商品的日销售金额（元）与时间（天）的函数解析式；（3）求该商品的日销售金额7（元）的最大值，并指出日销售金额最大的一天是天中的哪一天？(注：日销售金额=日销售量销售价格)解：（1）当，设P=at+b,将(0,19),(25,44)代入，得解之得当，同理可得综上所述：销售价格P（元）

6、和时间t（天）的函数解析式为（2）依题意，有，由(1)得化简得（3）由当时，由二次函数的性质知：t=10,或t=11时，y有最大值870元当时，y在区间[25，30]上是减函数因此t=25时，y有最大值1125元因为1125>870，所以当t=25时，即在第25天，日销售金额最大，最大值为1125元。说明：在解决分段函数的有关应用问题时，要从实际背景出发，全面分析自变量的取值范围以及自变量与函数值的对应关系，要做到不重不漏。变式4：（2008增城高三调研考17题）某市的公共汽车的票价制定的规则是（1）乘坐5（包含5）以

7、内，票价2元；（2）5以上，每增加5，票价增加1元（不足5的按5计算）。假设两个相邻的公共汽车站之间相距1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车站。（1）根据题意写出票价与里程之间的函数解析式；7（1）写出函数的定义域与值域；（2）一人从起点站上车，付2元票价的概率是多少？（即可能性有多大）三强化训练：1已知函数的定义域为，则的定义域为（）ABCD2已知定义在R上的函数关于原点对称，它在上的图象如图所示，则不等式的解集为（）ABCD3（2007年安徽卷，文7）下图中的图象所表示的函数的解析式为（）ABCD4已

8、知是R上的增函数，令则是R上的（）A增函数B减函数C先减后增函数D先增后减函数5（2008辽宁卷理12）设是连续的偶函数，且当时是单调函数，则满足的所有之和为（）AB3CD8６已知满足且则_________。7已知函数，则_____；____。78函数，则此函数的最大值和最小值分别为____﹑_____.9定义运算，求（1）的值；