正、余弦定理的变式解题

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1、浅谈正、余弦定理的变式教学山东省寿光市现代中学孙建平（262700）在新课程标准的指引下，教学方法也在不断改进、提升。数学的教学不应局限于一个狭窄的课本知识领域里，应该让学生思维能力的培养及个性品质的形成能力。这就需要调动学生学习的主动性，发挥学生的主体作用，为学生创设一个的宽松环境，使不同的学生都有所收获，满足不同学生的不同需要。使学生在学习中学会利用课本知识的举一反三，应用数学的“变式教学”，所谓“变式”即教师可不断更换命题的非本质特征，变换问题的条件或结论，转换问题的内容与形式，配置实际应用的各种环境，这也是很多教育工作

2、者一直在做的一项工作。在教学中如对课本上的例题或课后习题进行变式，对教师解决以上问题会有所帮助。下面我针对正、余弦定理在解题时的变式应用，举例说明怎样运用“正、余弦定理变式”灵活解题：一、正弦定理的常见几种变形：在新知识教学中，精心设计铺垫性变式题组，既体现在知识、思维上的铺垫，又展示知识的发生过程，找准新知识的生长点，让学生利用已有的知识结构来同化新知识，实现知识的迁移。变形1、或；例1、在中，，且，则，.解析：由正弦定理的变形1，得，∴，∴，即，又∵，∴，∴在中，由解得，.点评：本例应用正弦定理的变形1，将问题转化为三角函

3、数问题，进而求解.变形2、（其中为三角形外接圆的半径）.例2、在中，，试判断的形状.解析：由，利用正弦定理，得∴是直角三角形，且，∴，∴.∴由，可得，∴（舍去），∴则，∴是等腰直角三角形.点评：本题中先根据正弦定理的变形，得到为直角三角形，从而再判定三角形的形状.这组变式题组是围绕解分式不等式教学目标，由易到难、由旧知到新知逐步过渡，还有为"学有余力"的学生专门设置的综合提升题，以解决他们"吃不饱"的问题。让学生从课堂中去体会数学的魅力和活力，只有在这样的学习氛围中，学生的学习体验才是快乐的，是幸福的，而且在这种宽松氛围下大家

4、的参与是积极的，思维是活跃的，不同的人会获得不同的发展。二、余弦定理的常见几种变形：传统讲课法中，教师把公式、定理的结论、推导过程、适用条件、适用题型原原本本地讲给学生听，激不起学生的兴趣。再加上听不懂，上课睡觉就成了经常发生的现象。变式教学主要是由教师提出问题后，其结果怎样、或如何解决都要学生做出回答，对学生具有挑战性，所以学生的学习兴趣大，再加上题目具有一定的梯度，人人都能动手，所以学习的积极性非常高。变形1：例3、⑴在中，如果，则等于（）A、B、C、D、解析：由题意，得∴，∴，故答案选C.⑵在中，求的值.解析：由余弦定理

5、，得整理得：.点评：本例中根据余弦定理的变形1，将问题化为代数式的运算，从而求解之.变形2、例4、求的值.解析：对照余弦定理的变式2，可将原式化为：点评：对于余弦定理的变形2，不但在三角形中是成立的而且只要是三个角满足形式，则是恒成立的.通过这一组变式题型的训练，有利于强化学生的化归转化的数学思想，变式教学中更明确、具体地体现了教师的主导地位和学生的主体作用，教师要命题，要指导学生解题，要组织学生展示解题的结果和进行讨论辨析，还要对数学知识和数学思想方法进行总结。这样，课堂的进程完全掌控在教师的手中，真正地体现了教师是学习的组

6、织者、引导者和合作者；在这样的课堂上，学生的学习积极性都很高，从而极大地提高了课堂教学效益。三、正、余弦定理变形肢的综合应用：例5、⑴在中，角所对的边分别是，，的面积为，则.解析：由，，∴，由余弦定理可得：，得∴.⑵已知中，，求的值.解析：由题意，根据正弦定理的变形，得不妨令∴由余弦定理的变形，得.点评：这组变式题目的设置,除了解决单个的数学问题外,通过几个问题的前后联系以及解决这些问题的方法的变化,形成一种更高层次的思维方法,以达到对问题本质的了解、问题规律的掌握、知识技能的巩固、思维的拓展与迁移等目的.这种题组并不是几个独

7、立数学问题的简单组合,而是注重题目之间的内在联系,它们的解决能启示一种客观规律,能引导与启发学生掌握这种规律