湖南省2013届高三六校联考数学理

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湖南省2013年六校联考数学（理）考试试题卷湘潭市一中、长沙市一中、师大附中、岳阳市一中、株洲市二中、常德市一中时量120分钟满分150分一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、已知全集U=｛0,1,2,3,4,5｝，集合A=｛0,1,3｝，集合B=｛0,3,4,5｝，则（）A.B.C.D.2、下列说法中正确的是（）．A．“”是“”必要不充分条件；B．命题“对，恒有”的否定是“，使得”．C．∃m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数D．设，是简单命题，若是真命题，则也是真命题；3、两个变量与的回归模型中，分别选择了4个不同模型，计算出它们的相关指数如下，其中拟合效果最好的模型是()A.模型1（相关指数为0.97）B.模型2（相关指数为0.89）C.模型3（相关指数为0.56）D.模型4（相关指数为0.45）4、在三角形OAB中，已知OA=6，OB=4，点P是AB的中点，则（）A10B-10C20D-205、如图是某几何体的三视图，则该几何体体积是（）ABCD6、已知（为锐角），则（）A．B． C．D．7、如图,抛物线的顶点在坐标原点，焦点为，过抛物线上一点向准线作垂线，垂足为,若为等边三角形,则抛物线的标准方程是(）．A．B．C．D.8、已知函数f(x)=与g(x)=sin有两个公共点,则在下列函数中满足条件的周期最大的g(x)=（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上．）（一）选做题（请考生在第9,10,11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）9.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知曲线C的参数方程是，直线的极坐标方程是，则直线与曲线C相交的交点个数是______.10.如图，是圆的直径，点在的延长线上，且．切圆于，是的中点，直线交圆于点．则　　　　　　．11、设，则函数y=的最大值是　　　．开始S=0,T=0,n=00S=S+4n=n+2T=T+n输出T结束是否(二)必做题（12~16题） 12、设复数(其中为虚数单位)，则等于13、已知的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则含项的系数=______.14、执行右边的程序框图，若输出的T=20，则循环体的判断框内应填入的的条件是（填相应编号）。（①T≥S，②T＞S，③T≤S，④T＜S）15.设矩形区域由直线和所围成的平面图形，区域是由余弦函数、及所围成的平面图形．在区域内随机的抛掷一粒豆子，则该豆子落在区域的概率是　　　　　　．16.用三个不同字母组成一个含个字母的字符串，要求由字母开始，相邻两个字母不能相同.例如时，排出的字符串是；时排出的字符串是,…….记这种含个字母的所有字符串中，排在最后一个的字母仍是的字符串的个数为.故.．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17、（本题满分12分）驾驶证考试规定需依次按科目一（理论）、科目二（场内）、科目三（场外）进行，只有当上一科目考试合格才可以参加下一科目的考试，每个科目只允许有一次补考机会，三个科目考试均合格方可获得驾驶证。现张某已通过了科目一的考试，假设他科目二考试合格的概率为，科目三考试合格的概率为，且每次考试或补考合格与否互不影响。（1）求张某不需要补考就可获得驾驶证的概率。（2）若张某不放弃所有考试机会，记为参加考试的次数，求的分布列与数学期望。18．（本题满分12分）由五个直角边为的等腰直角三角形拼成如图的平面凹五边形ACDEF，沿AD折起，使平面ADEF⊥平面ACD.（1）求证：FB⊥AD（2）求二面角C-EF-D的正切值.19、（本题满分12分）已知数列是递增的等比数列，满足，且的等差中项，数列满足，其前项和为，且（1）求数列，的通项公式（2）数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围。20.（本题满分13分）某小型加工厂生产某种机器部件，每个月投产一批。该部件由5个A零件和2个B零件构成，加工厂采购这两种零件的毛坯进行精加工,再组装成部件,每加工成一个部件需要消耗10度电。 已知A、B两种零件毛坯采购价格均为4元/个,但如果同一种零件毛坯一次性采购超过1千个时，超过的部分可按优惠价3.6元/个结算。电费按月交纳,电价按阶梯电价计算：每月用电在5000度以内1元/度,超过5000度的部分每度电增加c（c>0）元.设每月还需要其他成本（不含人工成本）600元.在不考虑人工成本的条件下,问：(1)每月若投入资金1万元,可生产多少件部件?(2)每月若有2万元的资金可供使用,但要平均每件的成本最低,应投入多少资金?21.（本题满分13分）已知P（0，-1）与Q（0，1）是直角坐标平面内两定点，过曲线C上一动点M（x,y)作Y轴的垂线，垂足为N，点E满足，且。1）求曲线C的方程。2）设曲线与x轴正半轴交于点，任作一直线与曲线交于两点（不与点重合）且，求证过定点并求定点的坐标。22、（本题满分13分）已知函数（1）讨论的单调性与极值点。（2）若,证明当时，的图象恒在的图象上方.（3）证明 湖南省2013年六校联考数学考试试题答案一、选择题：题号12345678答案CBABBBDC二、填空题：9、210、，，因是的中点，所以．11、由柯西不等式，得．或用基本不等式：．12、2i13、2814②15、阴影面积为，故所求的概率为．16、答案：解析：所以，所以，两式相减得：当为偶数时，利用累加法得=所以，； 当为奇数时，利用累加法得=所以，.综上所述:三、解答题答案：17、答案：解：设“科目二第一次考试合格”为事件A1；“科目二补考考试合格”为事件A2；“科目三第一次考试合格”为事件B1；“科目三补考考试合格”为事件B2；则A1、A2、B1、B2相互独立。（1）他不需要补考就可获得驾证的概率为：…………………………………………5分（2）的可能取值为2，3，4∵…………………………………………9分∴的分布列为234P…………………………………………………12分18、答案：解： 法一：(1)作FO⊥AD于O，连OB........................(1分）∵等腰直角三角形AFD,∴点O为AD的中点.而等腰直角三角形ABD，∴BO⊥AD,而FO∩BO=O，∴AD⊥平面FOB,∴FB⊥AD.....................（5分）(2)∵等腰直角三角形ADB和等腰直角三角形CDB,∴∠ADC=90°，∴CD⊥AD.....................（7分）又∵平面ADEF⊥平面ACD，平面ADEF∩平面ACD=AD，∴CD⊥平面ADEF.作DM⊥FE，连接MC，∠DMC即为二面角C-EF-D的平面角....................（10分）在直角三角形MDC中，∠MDC=90°，MD=1,DC=2,∴tan∠DMC=2,∴二面角C-EF-D的正切值为2....................（12分）法二：（1）作FO⊥AD于O，连OB，∵平面ADEF⊥平面ACD，∴FO⊥平面ADC.∵等腰直角三角形AFD,∴点O为AD的中点.而等腰直角三角形ABD，∴BO⊥AD如图，建立空间直角坐标系，∴F（0,0,1），A（1,0,0），D（-1,0,0）,C（-1,2,0）,B（0,1,0）E（-2,0,1).................(2分）∵,∴FB⊥AD.................(5分）（2）显然平面DEF的法向量，................(7分）平面CEF中，,∴平面CEF的法向量，...............(10分）∴∴∴二面角C-EF-D的正切值为2..................(12分）19、答案：解（1）设等比数列的公比为则是的等差中项................(3分）依题意，数列为等差数列，公差又................(6分）（2）................(8分） 不等式化为..........(9分）对一切恒成立。而当且仅当即时等式成立。................(12分）19、答案：解：设产量为x件,总成本y元,生产200件需要1000个A零件,生产500件需要1000个B零件,并需要5000度电。…..(1分)当时,y=(5x+2x)+10x+600=38x+600y…..(3分)当时,y=(5x+2x)-(5x-1000)+10x+600=36x+1000y………..(5分)当x>500时,y=(5x+2x)-(7x-2000)+10x+(10x-5000)+600=(35.2+10c)x+1400-5000cy>19000………..(7分)(1)当y=10000时,20,故令36x+1000=10000,得x=250答：若投入资金10000元,可生产250件.……….(8分)(2)平均每件的成本……..(10分)在(0,500]上递减,在[500,)上：若1400-5000c>0,即c<0.28时依然递减,故可全部投入20000元资金使平均每件的成本最低；若1400-5000c<0,即c>0.28时递增,x=500时平均每件的成本最低,可投入资金19000元.若1400-5000c=0,即c=0.28时为定值38,可投入19000元至20000元任意数值的资金.………..(13分)21、答案： 解：（1）依题意知N（0，y），.又........（2分）.........（3分）∴椭圆的标准方程为……（5分）（2）设直线的斜率存在，设为，方程为由得：①……（6分）②③……（7分）又④……（8分）又即即⑤将②③④代入⑤并整理得：或……（9分）当时，①式成立此时直线的方程为,过定点（……（10分）当时，①式成立此时直线的方程为过点与直线不过点矛盾。……（11分）若直线的斜率不存在，设的方程为由得 由得即解之得……（12分）当时，直线的方程为过点当时，直线的方程为过点（舍）由上可知，直线过定点……（13分）21、答案：(添加计分标准)解：（1）................(1分）当时在（0，）上恒成立在(0,+∞)单调递增,此时无极值点...............(2分）当在定义域上的变化情况如下表：x（＋－＋增减增由此表可知在（0,1）和（上单调递增,在（1,）上单调递减为极大值点，为极小值点................(4分）（2）时令.....(5分）当时时,在（01）递减,在（1，上递增.恒成立......(7分）即时恒成立当的图象恒在的图象的上方......(8分）（3）由（2）知即.....(9分） 令.....(10分）=......(11分）===∴不等式成立.....(13分）