二面角的求法专题

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1、二面角的求法专题OBAabAB一、定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱。这两个半平面叫做二面角的面。ABba二、表示ABCDbal二面角a－AB－b二面角C－AB－D二面角a－l－b三、度量以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。ablOAB说明：1）角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内3）角的边都要垂直于二面角的棱范围：二面角的计算：（一“作”二“证”三“计算”）1）找到或作出二面角的平面角2）证

2、明1中的角就是所求的角3）计算出此角的大小注:二面角是空间图形，平面角是平面图形。在书写时不要写成”AOB为所求二面角”，而应写成”AOB为二面角的平面角”。练习：１.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，二面角C1-BD-C的正切值是_______.四、二面角的求法1、定义法DB1图1AOA1CBD1C1O1即在二面角的棱上找一点，在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角例1在正方体AC1中，下列二面角，1）二面角D1—AC—D的大小2）二面角A-BD-C1平面角的正切值3）二面角A1-B

3、D-C1平面角的余弦值1）2）易知∠COC1是二面角C-BD-C1的平面角，且tan∠COC1=，故所求二面角的大小为arctan.3）在图1中，∠A1OC1是二面角A1-BD-C1的平面角，设出正方体的棱长，用余弦定理易求得cos∠A1OC1=，那么所求二面角的大小为arccos.2、垂面法通过作二面角棱的垂面得平面角的方法就叫做垂面法..P图5lCBA例2、空间的点P到二面角的面、及棱l的距离分别为4、3、，求二面角的大小.如图5，分别作PA⊥于A，PB⊥于B，则易知l⊥平面PAB，设l∩平面PAB=

4、C，连接PC，则l⊥PC.分别在Rt△PAC、Rt△PBC中，PC=，PA=4，PB=3，则AC=，BC=.因为P、A、C、B四点共圆，且PC为直径，设PC=2R，二面角的大小为.分别在△PAB、△ABC中，由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2·AC·BCcos=PA2+PB2-2·PA·PBcos()，则可解得cos=，=120o，二面角的大小为120o.练习：⊿ABC中,AB⊥BC,SA⊥平面ABC,DE垂直平分SC,又SA=AB,SB=BC,SABCED求二面角E-BD-C的大小?2三垂线法例3已

5、知：分别是平面的垂线和斜线，是在平面的射影,。求证：；证明：说明：三垂线定理：平面内一条直线，如果和这个平面的一条斜线在平面内的射影垂直，那么这条直线就和这条斜线垂直；（1）三垂线定理描述的是PO(斜线)、AO(射影)、a(直线)之间的垂直关系。（2）直线与可以相交，也可以异面。（3）三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。练习1：写出三垂线定理的逆命题，并证明它的正确性；命题：已知：求证：证明：A图3PBl此法最基本的一个模型为：如图3，设锐二面角，过面内一点P作PA⊥于A，作

6、AB⊥l于B，连接PB，由三垂线定理得PB⊥l，则∠PBA为二面角的平面角，故称此法为三垂线法.最重要的是在“变形(形状改变)”和“变位(位置变化)”中能迅速作出所求二面角的平面角，再在该角所在的三角形(最好是直角三角形，如图3中的Rt△PAB)中求解.对于钝二面角也完全可以用这种方法，锐角的补角不就是钝角吗？PABC例4、三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=3，AC=4，PB=PC=BC求二面角A-PC-B的余弦值例5、四棱锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形，PD⊥面ABCD，PD=6，M,

7、N是PB,AB的中点，求二面角M-DN-C的平面角的正切值？PDABCNM图4B1AA1BlEF练习：如图，平面⊥平面，∩=l，A∈，B∈，点A在直线l上的射影为A1，点B在l的射影为B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=，求：二面角A1－AB－B1的大小.分析与略解：所求二面角的棱为AB，不像图3的那样一看就明白的状态，但本质却是一样的，对本质的观察能力反映的是思维的深刻性.作A1E⊥AB1于AB1于E，则可证A1E⊥平面AB1B.过E作EF⊥AB交AB于F，连接A1F，则得A1F⊥AB，∴∠A1FE

8、就是所求二面角的平面角.依次可求得AB1=B1B=，A1B=，A1E=，A1F=，则在Rt△A1EF中，sin∠A1FE==，故二面角A1－AB－B1的大小为arcsin.与图3中的Rt△PAB比较，这里的Rt△A1EF就发生了“变形”和“变位”，所以要有应对各种变化，乃至更复杂变化的思想准备.4、射影面积法ABCA`MD例6、已知：如图⊿ABC的顶点A在平面M上的射影为点A`，⊿ABC的面积是S，⊿A`BC的面积是S`，设二