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《浙江专升本高等数学第一章函数、极限与连续》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、学研教育—浙江专升本高等数学各章节解析第一章函数极限连续微积分研究的对象是函数，函数这部分的重点是：复合函数、反函数和分段函数及函数记号的运算.极限是微积分的理论基础，微积分中的重要概念，如连续、导数、定积分等实质上是各种类型的极限，既要准确理解极限的概念、性质和极限存在的条件，又要能准确地求出各种极限，求极限的方法主要有：①利用极限的四则运算幂指数运算法则;②利用洛必达法则;③利用函数的连续性;④利用变量替换与两个重要极限(利用几个重要的等价无穷小因子替换求极限);⑤数列极限转化为函数极限;⑥利用夹逼定理;⑦利用递推数列先证明再求出极限
2、;⑧利用导数的定义求极限.函数的连续性是通过极限定义的,判断函数的连续性及函数间断点的类型等问题在本质上极是求极限,所以连续仍是本章的重点.要求掌握判断函数连续性及求间断点的方法，特别是分段函数在连接点处的连续性，会判别函数间断点的类型.函数的许多重要性质都与连续性有关,要求掌握有界闭区间上连续函数的性质及应用.本章在历年数学一试题中的分数统计年份878889909192939495969798990001020304分数56835338358一、知识网络图25学研教育—浙江专升本高等数学各章节解析25学研教育—浙江专升本高等数学各章节解
3、析二、典型错误分析例1．设分段函数,求[错解][错因分析]忽视了改变自变量形式的同时,要相应地考虑定义域的变化这个关键点.[正确解]即类似地例2.证明[错证]要使,则应有.注意到,则有,故取,则当时,恒有,即[分析]由,25学研教育—浙江专升本高等数学各章节解析推出是正确的.而错在由而取这一步上.事实上,这样得到的,当时并不能保证一定成立.例如,取,按以上解法,只要则[正确证明]令,则.注意到,当时,,于是或,也就是,故对取,当时,便有,所以例3.求.[错解]=－,因为与均不存在,故原式极限不存在.[错因分析]极限的运算法则是在参与运算的
4、两个函数极限都存在的条件下适用的,本题错在误解了极限的运算法则.[正确解]由于,25学研教育—浙江专升本高等数学各章节解析当时,,而,故,于是原式等于零.例4.求.[错解]利用洛必达法则,注意到极限不存在,故原式=的极限也不存在.[错因分析]不满足洛必达法则的条件,故本题不能用洛必达法则解,错因是忽视了洛必达法则仅是极限存在的充分条件而非必要条件.[正确解]原式==.例5.设函数的二阶导数存在,求[错解]利用洛必达法则,则原式==.[错因分析]在推导出结果时使用了二阶导数连续的条件,本题并无这样的假设.[正确解]=25学研教育—浙江专升本
5、高等数学各章节解析==.例6.求.[错解]原式==.[错因分析]将误写成是问题所在.[正确解]原式=由于;故原极限不存在.例7.求().[错解]当时,.当时,;当时,.25学研教育—浙江专升本高等数学各章节解析综上所述,故有=.[错因分析]当时,误认为,而由可知,仅当时,才有.[正确解]将上述变量的取值点改为,其余不变,则=.例8.设,求证:,当时,有.[错证]由题设,当时,有;又由假设,,当时,有.取,则当时,就有.[错因分析]主要是没搞清表示的什么角色,既然任意取定,它们就应看作常数,而最后一步又视它们为变量,显然是矛盾的.[正确证明
6、]由假设,,当时,则.对于,同时有,,于是.25学研教育—浙江专升本高等数学各章节解析例9.设在内连续,且,存在,证明:在上一致连续.[错解]由,,当时,有;于是,当时,有可知在上一致连续.同理,由,,当时,有.可知在上一致连续.又因为在上连续,故在上一致连续.综上所述,在上一致连续.[错因分析]对一致连续的定义记忆不清、理解有误.[正确证明]由,,当时,有,故当时,且时,,可知在上一致连续.同理可证当时,即知在上一致连续.又因为在上连续,因此,当时,有,故在上一致连续.综上各项,取,当时,便有即在上一致连续.例10.求的间断点并判别类型
7、.[错解]当,即时,函数无定义,又因,25学研教育—浙江专升本高等数学各章节解析故为的第二类间断点.[错因分析]有两个问题:①遗漏了使无定义的点,这些点也是的间断点.②由于,故不是第二类间断点.[正确解]的定义点和零点分别为:和又因,,.故及为第一类可去间断点;而为第二类间断点.三、综合题型分析例11.设则是(A)偶函数(B)无界函数(C)周期函数(D)单调函数[答案]（B）[分析一]有正下界:;和无界,在的定义域在存在数列满足,可证无界.[解一]设=,于是=,即无界.因此选(B)[分析二]用排除法,不是周期函数,也有函数值相同的点,可以
8、证明当时,不是偶函数.[解二]由,知不是单调函数.由于=,不是偶函数.又也不是周期函数,因此选(B).25学研教育—浙江专升本高等数学各章节解析例12．设和在内有定义，为连续函数，且，有间断点
