高等数学 第一章 函数极限与连续 教案.doc

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1、【教学内容】§1.1函数【教学目的】理解并掌握函数的概念与性质【教学重点】函数的概念与性质【教学难点】函数概念的理解【教学时数】4学时【教学过程】一、组织教学，引入新课极限是微积分学中最基本、最重要的概念之一，极限的思想与理论，是整个高等数学的基础，连续、微分、积分等重要概念都归结于极限.因此掌握极限的思想与方法是学好高等数学的前提条件.本章将在初等数学的基础上，介绍极限与连续的概念。二、讲授新课（一）、实数概述1、实数与数轴（1）实数系表（2）实数与数轴关系（3）实数的性质：2、实数的绝对值（1）绝对值的定义：（2）绝对值的几何意义（3）绝对值的性质练习：

2、解下列绝对值不等式：①，②3、区间（1）区间的定义：区间是实数集的子集（2）区间的分类：有限区间、无限区间①有限区间：长度有限的区间设与均为实数，且，则数集{}为以、为端点的闭区间，记作[，]数集{}为以、为端点的开区间，记作（，）数集{}为以、为端点的半开半闭区间，记作[，）数集{}为以、为端点的半开半闭区间，记作（，]区间长度：②无限区间数集{}记作[，），数集{}记作（，）数集{}记作（，]，数集{}记作（，）实数集R记作（，）（3）邻域①邻域：设与均为实数，且，则开区间（，）为点的邻域记作，其中点为邻域的中心，为邻域的半径。②去心邻域：在的邻域中去掉

3、点后，称为点的去心邻域，记作（二）、函数的概念1、函数的定义：设有一非空实数集D，如果存在一个对应法则，使得对于每一个，都有一个惟一的实数与之对应，则称对应法则是定义在D上的一个函数.记作，其中为自变量，为因变量，习惯上称是的函数。定义域：使函数有意义的自变量的全体，即自变量的取值范围D函数值：当自变量取定义域D内的某一定值时，按对应法则所得的对应值称为函数在时的函数值，记作。值域：当自变量取遍D中的一切数时，所对应的函数值构成的集合，记作M，即函数的二要素：定义域、对应法则【例1.1】设，求（1）；（2）．答：（1）；（2）【例1.2】设，求，.答：，=．

4、【例2】判断下列每组的两个函数是否相同（1），（2）【例3】求下列函数的定义域：（1）；（2）=．答：（1）；（2）函数的定义域是[0，2]．2、函数的表示法（1）公式法：用数学表达式表示函数的方法分段函数：当自变量在定义域内的不同区间取值时，用不同的表达式表示的函数例如：绝对值函数；符号函数取整函数现行出租车的收费标准：其中表示不小于的最小整数（2）列表法：将一系列自变量的数值与对应的函数值列成表格表示函数的方法（3）图形法：用图形表示函数的方法说明：三种形式各有其优点和不足，实际问题中往往把三种形式结合起来使用.3、函数的性质（1）单调性定义：设函数的定

5、义域为D，区间ID，若对I内的任意两点，当时，，则称在I上单调增加；若当时，有，则称在I上单调减少，区间I称为单调区间.说明：讨论函数的单调性必须指明所在的区间。（2）奇偶性定义：设函数在D上有定义，若对于任意的，都有，则称为偶函数；若有，则称为奇函数.性质：奇函数与偶函数的定义域必定关于原点对称。偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称.【例4】判断下列函数的奇偶性．（1）；(2)；（3）；（4）．答：(1)偶函数；(2)奇函数；（3）偶函数；（4）非奇非偶函数．（3）有界性定义：设函数的定义域为D，区间ID，若存在一个正数M，使得对任意的，恒有

6、，则称函数y=f(x)在区间I上有界。若不存在一个正数M，则称函数在区间I上无界.说明：讨论函数的有界性必须指明所在的区间。例如：与都在（）内有界.在（0，1）上无界，而在（1，2）上有界（4）周期性定义：设函数在D上有定义，若存在一个非零的实数T，对于任意的，恒有，则称是以T为周期的周期函数.最小正周期；周期函数的周期由无数个，其中正周期中最小的周期为最小正周期说明：通常所说的函数的周期，指的是最小正周期，但有些周期函数无最小正周期例如：的周期是2，的周期是，的周期是.函数,（为常数）是周期函数，但不存在最小正周期,（三）、反函数1、定义：设函数，其定义域

7、为D，值域为M.如果对于每一个，有惟一的一个与之对应，并使成立，则得到一个以为自变量，为因变量的函数，称此函数为的反函数，记作说明：的定义域为M，值域为D.因习惯上自变量、因变量分别用、表示，则的反函数表示为例如：的反函数是，其定义域就是的值域，值域是的定义域2、性质：函数y=f(x)和其反函数的图象关于直线对称3、反函数的存在性：一一对应的函数一定有反函数，从而严格单调的函数一定有反函数【例5】求下列函数的反函数（1）；（2）（四）、初等函数1、基本初等函数（1）常数函数（为常数），其图形为一条平行或重合于轴的直线.（2）幂函数（为实数）,其在第一象限内的

8、图形（3）指数函数（），定义域为R，值域为，（4）对