各类积分之间的联系与计算(朱静)

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1、各类积分之间的联系与计算第一型曲线积分计算：化为定积分（1）参数方程如果空间曲线L参数方程为：，，则，=。若空间曲线参数方程为：，，则，=。（2）直角坐标方程如果曲线L的方程为，，那么有。第二型曲线积分计算：化为定积分（1）参数方程若平面定向曲线的参数方程：，则=若空间定向曲线的参数方程，则6=（2）直角坐标方程若曲线L的方程为，则二重积分的计算：化为二次积分（1）直角坐标系若在型区域上连续则=.若在型区域上连续，则=.（2）极坐标变换极坐标变换：,情形1原点1）为型区域，即，此时2）为型区域，即，此时情形2原点是积分区域的内点，的边界极坐标方程为，则变换后的区域，6此时情形3原点在

2、积分区域的边界曲线上，，此时有广义极坐标变换:三重积分的计算：化为三次积分（1）直角坐标系投影法（以投影到xy平面为例）我们先在轴上做积分，暂时将看成是常数．把函数看作是的函数，将它在区间上积分得到“线”的质量．显然这个结果是的函数，再把这个结果在平面区域上做二重积分“体”的质量，即若，；若，；6截面法（以截面平行于xy平面为例）确定位于平面之间，即，过z作平行于xoy面的平面截，得截面，不难得到：“面”的质量，“体”的质量（2）柱面坐标变换==（3）球坐标变换=广义球坐标变换第一型曲面积分：化为二重积分（1）直角坐标方程若光滑曲面：，，为定义在上的连续函数，则=（2）参数方程6第二

3、型曲面积分：化为二重积分（1）直角坐标方程设函数在有向光滑曲面：，上连续，则有（上侧取正，下侧取负）若曲面为：，则有（前侧取正，后侧取负）若曲面为：，则有（右侧取正，左侧取负）注：如果的法线方向与相应坐标轴的正向成钝角的那一侧为正侧，则相应的公式右端要加“-”号（2）参数方程格林公式：若函数在闭区域上连续，且有连续的一阶偏导数，则有为区域的边界曲线，并取正方向.设区域的边界由一条光滑曲线或几条光滑曲线组成，规定边界曲线的正方向为：当人沿边界行走时，区域总在他的左边；与上述方向相反的方向称为负方向，记为.为便于记忆，格林公式可写成下述形式.格林公式沟通了平面区域上的二重积分与其边界曲线

4、上的曲线积分之间的联系.高斯公式：设空间闭区域是由分片光滑的闭曲面所围成，P（x,y,z）,Q(x,y,z),R(x,y,z)在上具有一阶连续偏导数，则有公式：这里是由的整个边界曲面的外侧构成。通常由6所表示的曲面都是双侧曲面，当以其法线正方向与z正向的夹角成锐角的一侧(也称为上侧)为正侧时，则另一侧(也称下侧)为负侧。当S为封闭曲面时，通常规定曲面的外侧为正侧，内侧为负侧。高斯公式沟通了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.斯托克斯公式：设为分段光滑的空间有向闭曲线，是以为边界的分片光滑的有向曲面，的正向与的侧符合右手规则，函数在包含曲面在内的一个空间区域内具有

5、一阶连续偏导数,则有公式(7.1)公式(7.1)称为斯托克斯公式.右手螺旋法则：即当人站在曲面的正侧上,沿边界曲线行走时,若曲面在左侧,则把人的前进方向定为的正向.为了便于记忆，斯托克斯公式常写成如下形式：斯托克斯公式是格林公式的推广，如果是xoy面上的一块平面闭区域，斯托克斯公式就变成格林公式.斯托克斯公式建立了空间曲面的曲面积分与沿的边界曲线的曲线积分之间的联系.广华初级中学朱静2012年4月15日星期日整理6