浅谈lebesgue积分与riemann积分的联系与区别

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1、浅谈Lebesgue积分与Riemann积分的联系与区别有人说，Lebesgue积分是Riemann釈分的推广。然而对广义Riemann积分来说，Riemann积分的AT积性并不意味着Lebesgue积分的可积性。那么，他们之间有怎么样的联系和区别呢，首先，我们先来回顾一下两种积分的定义。一、积分定义Riemann积分定义假设)，=/(x)是区间［rz，川上的函数，若存在某个常数A，使得对区间［“,/?］的任意分害1J:6/=又()<七〈…〈弋=/?及任意），x,+1］，/=O，l，."，n—l，只要max{xM-就有:卜1Z/

2、（D（X+i-易）->a/=0则称/在.［6/，/?］上Riemann可税。Lebesgue积分定义设£c是测度有限的可测集，/是定义在E上的有界可测函数，即存在尺，使/(£)=［/£}c(汉，/?).若D••a=10<“◊••

3、ebc=J/+(x)dx-J/"(x)JxEEE若j*/(%)也为有限数，则称/(X)在£上Lebesgue可积。E二、L积分与R积分的联系由于在通常意义下的R可积性意味着L可积性，所以我们有定理如果有界函数/(x)在闭区间［6Z，/d是R可积的，则/(幻在也是L可积的，且^f(x)dx=^f(x)dx,［“力】此处J*f(x)dx表示/在上的L积分，£f(x、dx表示/在［a,b］上的R和分。［“川证明：因为/是有界函数，所以只需证明/是上的可测函数。由于/是R可积的，取［6/，/7］的分点组Dma=x^n}

4、D川cD，n+”^(DJ=maxfc-)-47>卜0,记分别为/在的下确界与上确界，由R积分的定义知•m'mlim艺州广)(人⑽-々))=⑽-x«)=Jf(x)dx州一>的w—>ooJa/=!/=1令}，k,,,}为如下的函数列:(/")识，,u)=乂⑻，x=a

5、M广)，XG(x；_T，x；,M)J1/⑻，x=a则因久<=久+1，故当区间长度缩小时，上确界不增，下确界不减，所以于是lim仍,,W，即/00—_注意到/，/都是有机可测的，所以/-/是非负L可积函数，从而J(f-f)dx=^fdx-Jfdx>0[“

6、力j~[a.b]~fMdx>J(pm(x)ch=£min}(x；w)-J7(xk/x[a,b]~[“》]/==,JfMdx

7、然而，通过一些条件变换，我们有定理若/(%)在［M］上广义R可积，且/(x)不变号，则/(x)L可积，且积分值相等。证明：就无界函数/(%),积分值域为［0，1］，/(x)仅在“=0无界，/(%)在［0，1］上非负来证明。令0，/U)，XE

8、0，一nXEI—，1n则每个人(X),HeTV都是非负的有界可测函数，容易证明打—><»0

9、oi)/w、x、dm=limif(x)dm=limj^f(x、dm三、L积分与R积分的区别从L积分与R积分的定

10、义来看，两种积分的主要区别是，R积分是将给定函数的定义域分小而产生的，而L积分则是划分函数的值域而产生的。R积分的优点是6=['+1]得度量容易给出，但是当分发的细度

11、

12、r

13、

14、充分小时，函数/*(x)在么上的振幅4=sup/(x)-inf/(%)仍可能较大。L积分的优点是函数/⑴在圮上的振幅4=sup/(x)-inf/(x)€J(DJ较小，但不再是区间，而是可kx^Ek•拓圮测集。L积分理论是在测度理论棊础上建立的，而测度是平面上度量的推广，故而L积分可以处理有界函数和无界函数的情形，而且把函数定义在更一般的点集上，而不仅仅局

15、限于上，从而使L积分的积分范围比R积分更广泛。而在重积分运算时，R积分理论要求重积分和两个累次积分都存在时才和等，而L积分则只需可测且有一个累次积分存在即可，也就是说在L积分理论下重积分化累次积分的条件减弱了。另一方面，R积分中的逐项积分问题，也就是积分与极限交