§8.4全微分与梯度

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1、§8.4全微分与梯度（一）全微分的概念复习：一元函数的微分的定义设函数在点某邻域内有定义，若在点的增量可表示为，其中无关，当时是的高阶无穷小，则称在点可微，其微分。1．二元函数全微分的定义设函数在点的某邻域内有定义，为这邻域内的任意一点，则称为函数在点对应于自变量增量的全增量。定义：如果在点的全增量可表示为，（其中不依赖于而仅与有关，，则称函数在点可微分，而称为函数在点处的全微分，记为，即。如果函数在区域每一点都可微分，则称函数在区域可微分。全微分的两个性质：（1）；（2）。2．定理1若函数在点处可微分，7则函

2、数在点处连续。证明：∵在点可微分，∴，∴。∵，∴函数在点处连续。由定理1可知，若函数在点处不连续，则在点处必不可微。如果在点存在全微分，那么A＝？，B＝？3．定理2（可微的必要条件）如果函数在点可微分，则该函数在点的偏导数，必存在，且.证明：∵在点可微，∴，当时，，，，∴。同理故。规定，，则或。7若记，，则。称为在点处的梯度，记为，即。一般地，若函数，在处可微，则在点处有，，，。规定，，则或。一元函数中，可微与可导是等价的。但在二元函数中，偏导数存在是可微的必要条件，而非充分条件，即可微可导。当偏导数存在时可得

3、表达式，但它不一定是全微分，必须加上“是比无穷小的条件”。例1．讨论函数在点处是否可微？解：在点处，7，。而，，当点沿直线趋于点时，∵，它不能随而趋向于0，∴不是的高阶无穷小，故不是在点处的全微分，即函数在点处不可微。4．定理3（可微的充分条件）若函数的偏导数，在点连续，则函数在点处可微分。证明：，，7∴故由定义知在点可微。注意：，在点连续只是在点可微的充分条件，但不是必要条件。对于二元函数，有偏导数连续函数可微偏导数存在函数连续常见的二元函数一般都满足定理3的条件，从而它们都是可微函数。二元函数全微分的定义以

4、及可微分的必要条件和充分条件，可以完全类似地推广到三元和三元以上的多元函数。例如三元函数，若三个偏导数连续，则它可微且全微分为。例2．设证明：（1）在点的邻域内有偏导数，；（2）偏导数，在点处不连续；（3）函数在点处可微。证明：（1）当时，有，同理可得，，7当时，有，，同理可得。所以在点的邻域内有偏导数，。（2）∵当点沿直线趋向于点时，有，不存在，∴不存在，因而在点处不连续。同理可证，在点处不连续。（3）∵，，∴，即函数在点处可微。7例3．求函数在点处的全微分和梯度。解：，，，，，。例4．求函数的全微分。解：，

5、，，。7