成贤教材-高数B下§8.4全微分及其应用

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1、§8.4全微分及其应用8.4.1全微分复习：一元函数微分的定义设函数的某邻域内有定义，增量可表示为，其中，的高阶无穷小，则称处可微，其微分。定义:设函数在点的某邻域内有定义，如果的全增量可表示为，（其中于，，则称函数在点可微，而称为函数在点处的全微分，，即。如果在区域每一点都可微，则称在可微。全微分的两个性质：（1）；（2）。定理1若在点处可微，则（1）在点处连续。（2）该函数在点的偏导数，必存在，且.证明（1）：∵在点可微，∴，∴。∵，∴函数在点处连续。证明（2）：∵在点可微，8∴，当时，，，，∴，同理。故。由定理1可知，若在点处不连续，则在点处必不可微。规

2、定，，则或。在一元函数中，可微与可导是等价的。但在二元函数中，偏导数存在是可微的必要条件，而非充分条件，即可微可导。当偏导数存在时可得表达式，但它不一定是全微分，必须加上“是比无穷小”这一条件。例1．讨论函数在点处是否可微？解：在点处，，。而，，当点沿直线趋于点时，8∵，它不能随而趋向于0，∴高阶无穷小，故不是在点处的全微分，即函数在点处不可微。定理（可微的充分条件）若函数的偏导数，在点连续，则函数在点处可微分。证明：，，，∴。故由定义知在点可微。注意：，在点连续只是在点可微的充分条件，但不是必要条件。对于二元函数，有偏导数连续函数可微偏导数存在函数连续二元函

3、数全微分的定义以及可微的必要条件和充分条件，可以完全类似地推广到三元和三元以上的多元函数。例如三元函数，若三个偏导数连续，则它可微且全微分为8。例2．设证明：（1）在点的邻域内有偏导数，；（2）偏导数，在点处不连续；（3）函数在点处可微。证明：（1）当时，有，同理可得，，当时，，同理可得。所以在点的邻域内有偏导数，。（2）∵当点沿直线趋向于点时，有，不存在，∴不存在，因而在点处不连续。同理可证，在点处不连续。（3）∵，，8∴，即函数在点处可微。例3．求函数在点处的全微分。解：，，，，例4．求函数的全微分。解：，，，。§8.7方向导数和梯度8.5.1方向导数偏导

4、数，只是函数在点沿着平行于坐标轴的方向的变化率。下面讨论函数在点沿任意方向的变化率。从点任作，设的方向余弦为，在上任取一点，设，则有。定义设函数在点的某邻域内有定义，向量方向余弦为，若极限存在，则此极限值为函数的方向导数，记为，即。8例1．设函数，求处沿任何方向的方向导数。解：。但和都不存在。(不存在.)注：（1）方向导数存在，但偏导数可能不存在；（2）偏导数存在，也可能方向导数不存在。（3）方向导数是定义在射线上的单侧导数，它描述了函数沿方向变化率，而偏导数则是定义在上的双侧导数，表示函数沿平行于坐标轴上方向的变化率，故不能把偏导数看作是一种特殊的方向导数。

5、定理若函数在点处可微，则它在点处沿任一方向方向导数都存在，且有.证明：∵在点处可微，∴其中为时的高阶无穷小。∴，即。该定理可推广到函数。8.5.2梯度8若记，，则。称为在点处的梯度，记为，即。一般地，若函数，在点M处可微，则在点M处有，，，。若函数在点处可微，则它在点处沿任一方向方向导数都存在。但其逆不成立，即若在点处函数在任一方向方向导数都存在，而在点处不一定可微。∵。∴就是函数在点处的梯度在上的投影。∵，∴（1）当时，即方向与的方向相同时，方向导数取得最大值，且最大值。故梯度的方向是函数在点增长最快的方向。（2）当时，即方向与的方向相反时，方向导数取得最小

6、值，且最小值。故梯度的反方向是函数在点减少最快的方向。（3）当时，即方向与的方向垂直时，方向导数为零。8例2．求函数在点沿方向的方向导数。解：，，，，方向余弦为，，∴。例3．函数在点处沿什么方向的方向导数最大？并求出最大值。解：，，，方向导数达到最大的方向为。方向导数的最大值为。试问：函数在点处沿什么方向的方向导数最小？最小值为何值？例4．设是由方程所确定的隐函数，求在点处的方向导数的最大值。8