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1、现代数值计算方法习题答案李继云习题一1、解：根据绝对误差限不超过末位数的半个单位，相对误差限为绝对误差限除以有效数字本身，有效数字的位数根据有效数字的定义来求.因此49×10-2：=0.005；=0.0102；2位有效数字.0.0490：=0.00005；=0.00102；3位有效数字.490.00：=0.005；=0.0000102；5位有效数字.2、解：=3.1428……，=3.1415……，取它们的相同部分3.14，故有3位有效数字.=3.1428-3.1415=0.0013；===0.00041.3、解：的近似值的首位非0数字=1,因此有
2、
3、<=×10-4,解之得n>=5
4、，所以n=5.4、证：5、解：(1)因为4.4721……，又
5、
6、=
7、
8、=0.0021<0.01,所以4.47.(2)的近似值的首位非0数字=4,因此有
9、
10、<=0.01,解之得n>=3.所以，4.47.6、解：设正方形的边长为,则其面积为，由题设知的近似值为=10cm.记为的近似值，则<=0.1，所以<=0.005cm.7、解：因为,22现代数值计算方法习题答案李继云所以.9、证：由上述两式易知，结论.10、解：代入求解,经过计算可知第(3)个计算结果最好.11、解：基本原则为：因式分解，分母分子有理化、三角函数恒等变形……（1）通分；（2）分子有理化；（3）三角函数恒等变形.12
11、、解：因为,,所以
12、
13、<=于是有
14、
15、=
16、
17、=10
18、
19、<=
20、
21、=
22、
23、=10
24、
25、<=类推有
26、
27、<=即计算到，其误差限为，亦即若在处有误差限为，则的误差将扩大倍，可见这个计算过程是不稳定的.习题二1、解：只用一种方法.（1）方程组的增广矩阵为：→→→,,.（2）方程组的增广矩阵为：→→→,,.（3）适用于计算机编程计算.22现代数值计算方法习题答案李继云2、解：第一步：计算U的第一行，L的第一列，得第二步：计算U的第二行，L的第二列，得第三步：计算U的第三行，L的第三列，得第四步：计算U的第四行，得从而，=由,解得=（6，-3，23/5，－955/370）T.由,解得=（1，-1，1，
28、－1）T.3、（1）解：首先检验系数矩阵的对称正定性，这可以通过计算其各阶顺序主子式是否大于零来判断.22现代数值计算方法习题答案李继云＝3>0,=2>0,=4>0,所以系数矩阵是对称正定的.记系数矩阵为A，则平方根法可按如下三步进行：第一步分解：A=LLT.由公式计算出矩阵的各元素：因此，L＝.第二步求解方程组LY=b.解得Y=（，，）T.第三步求解方程组LTX=Y.解得X=（0，2，1）T.（2）解：首先检验系数矩阵的对称正定性，这可以通过计算其各阶顺序主子式是否大于零来判断.＝3>0,=2>0,=6>0,所以系数矩阵是对称正定的.记系数矩阵为A，则平方根法可按如下三步进行：
29、第一步分解：A=LLT.由公式计算出矩阵的各元素：22现代数值计算方法习题答案李继云因此，L＝.第二步求解方程组LY=b.解得Y=（，，）T.第三步求解方程组LTX=Y.解得X=（，，）T.4、解：对,；对,,,；对,,,,,.所以数组A的形式为：求解方程组LY=b.解得Y=（4，7，）T.求解方程组DLTX=Y.解得X=（，，）T.5、解：（1）设A=LU=计算各元素得：,,,,,,,,.求解方程组LY=d.解得Y=（1，，，，）T.求解方程组UX=Y.解得X=（，，，，）T.22现代数值计算方法习题答案李继云（2）设A=LU=计算各元素得：，，，，.求解方程组LY=d.解得Y
30、=（17，，）T.求解方程组UX=Y.解得X=（3，2，1）T.6、证：（1）（2）相同.因为此方程组的系数矩阵为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法和相应的高斯－赛德尔迭代法都收敛.（1）雅可比迭代公式：高斯－赛德尔迭代公式：（2）雅可比迭代公式：高斯－赛德尔迭代公式：7、(1)22现代数值计算方法习题答案李继云证：因为此方程组的系数矩阵为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法和相应的高斯－赛德尔迭代法都收敛。(2)雅可比迭代法：写出雅可比迭代法公式：取=（－3，1，1）T，迭代到18次达到精度要求,=（－3.999，2.999，1.999）T.高斯－赛德尔迭代法：写出高斯－赛德尔迭
31、代法公式：取=（－3，1，1）T，迭代到8次达到精度要求,=（－4.000，2.999，2.000）T.8、SOR方法考试不考。9、证明：雅可比法的迭代矩阵为：,解得,所以雅可比迭代法不收敛.高斯-赛德尔法的迭代矩阵为：,求得，，则,所以高斯-赛德尔迭代法不收敛.22现代数值计算方法习题答案李继云10、证明：雅可比法的迭代矩阵为：,求得，，，则,所以雅可比迭代法不收敛.高斯-赛德尔法的迭代矩阵为：,求得，，则,所以高斯-赛德尔迭代法收敛.11、证明：当-0.5
