非线性方程组牛顿迭代法(1)

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1、华中师范大学课程结业论文题目：非线性方程组牛顿法及MATLAB程序院系：数学与统计学学院专业：数学与应用数学年级：2014级课堂名称：数值分析（1）实验学生姓名：杨帅学号：20142126432016年6月18非线性方程组牛顿法及其MATLAB程序〔摘要〕学了《数值分析》这门课，了解到非线性方程的数值解法有：对分区间法、简单迭代法、Aitken-Steffensen加速法、Newton迭代法、正割法等，自然就会想到非线性方程组的数值解法有哪些呢？和非线性方程的数值解法有哪些不不同呢？在研究非线性方程组的数值解法之前，首先要给

2、非线性方程组下一个合理定义；n个变量n个方程（n>1）的方程组表示为（其中i=1,2...，n），若中至少有一个是非线性函数，则称上述的表示为非线性方程组。在R中记，，其中记且。若存在尣∈D，使ƒ(尣)=0，则称尣为非线性方程组的解。上述方程组可能有一个解或多个解，也可能有无穷多解或无解。对非线性方程组解的存在性的研究远不如线性方程组那样成熟，现有的解法也不象线性方程组那样有效。除极特殊的方程外，一般不能用直接方法求得精确解，目前主要采用迭代法求近似解。根据不同思想构造收敛于解尣的迭代序列{尣}(k=0，1，…)，即可得到求

3、解非线性方程组的各种迭代法；但研究数学问题的时候，一般是由简单到复杂，由特殊到一般。因此要在研究非线性方程组牛顿解法的时候，首先要探究非线性方程的牛顿解法。1.1求解线性方程组的牛顿法及其MATAB程序1.1.1程序设计思路输入的量：初始值、近似根的误差限tol，近似根的函数值得误差限ftol，迭代次数的最大值gxmax、函数fnq（x）=及其导数dfnq（x）=f’（x）。输出的量：迭代序列{}、迭代k次得到的迭代值（迭代次数超过gxmax时，运行后输出信息'请注意：迭代次数超过给定的最大值gxmax')、相邻两次迭代的偏

4、差piancha=

5、

6、和它的偏差的相对误差xdpiancha=

7、

8、/

9、

10、的值。1.1.2具体操作现提供名为newtonqx.m的M文件：function[k,xk,yk,piancha,xdpiancha]=newtonqx(x0,tol,ftol,gxmax)x(1)=x0;fori=1:gxmaxx(i+1)=x(i)-fnq(x(i))/(dfnq(x(i))+eps);piancha=abs(x(i+1)-x(i));xdpiancha=piancha/(abs(x(i+1))+eps);i=i+1;xk=x(i);

11、yk=fnq(x(i));[(i-1)xkykpianchaxdpiancha]if(abs(yk)

12、(xdpianchagxmaxdisp('请注意：迭代次数超过给定的最大值gxmax。')return;end[(i-1),xk,yk,piancha,xdpiancha]';1.1.3例题分析用牛顿法求解方程2x^3-3x^2+1=0在=-0.4和0.9的

13、近似根，要求精度=10^(-3).然后判断此方法分别在方程的根=-0.5和1处的收敛速度.(1),先求方程的近似根.在MATLAB工作窗口输入程序>>[k,xk,yk,piancha,xdpiancha]=newtonqx(-0.4,0.001,0.001,100)运行后输出初始值=-0.4的迭代结果如表所示.k

14、

15、

16、

17、/

18、

19、1-0.5167-0.07670.11670.22582-0.5004-0.00160.01630.03263-0.5000-0.00000.00040.0007迭代次数k=3,根的近似值=-0.500

20、,它的函数值=-1.759e-013,偏差piancha=1.712e-007和相对误差xdpiancha=3.423e-007如果将-0.4改作0.9，则运行后输出初始值=-0.4的迭代结果为k=7；piancha=7.290e-004；xdpiancha=7.295e-004；=0.999；=1.590e-006.(2)，再讨论收敛速度比较初始值分别是=-0.4和0.9的两组结果，在=-0.4处迭代3次就得到单根=-0.5的近似值=-0.500；而在x0=0.9处迭代7次才得到二重根=1的近似值=0.999.可见，牛顿切

21、线迭代法在单根处的迭代速度比二重根处的迭代速度快很多.这正如前面讨论的结果一样，即若是f(x)=0的单根，则牛顿切线法是平方收敛的；若是f(x)=0的二重根，则牛顿切线法是线性收敛的；2.1，求解二元非线性方程组的牛顿法及其MATLAB程序2.1.1程序设计思路：输入的量：初始值X=[],