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《非线性方程组求根的牛顿迭代法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、二元非线性方程组求根的牛顿迭代法摘要:本文根据一元函数的Taybr公式和求解一元非线性方程的牛顿迭代法之间的关系,利用多元函数的Taybr公式推导出了二元非线性方程组的牛顿迭代法;在此基础上,通过MATLAB仿真计算一个方程组的根来说明该方法是可行的。关键词:牛顿迭代法;一元函数;二元函数;Taybr公式;Matlab0引言非线性方程的数值解法有逐步搜索法、区间二分法、迭代法、牛顿迭代法等,那么,对于对于非线性方程组,其牛顿迭代法的迭代方程是什么?本文根据一元函数的Taybr公式和一元非线性方程牛顿迭代法之间的关系,利用多元函数的Taybr公式推导出了二元非线性方程组的牛顿迭代法,在
2、此基础上利用推导出的二元非线性方程组求根的牛顿迭代法通过matlab仿真计算出一个方程组的根,检验了所得方法的有效性。1 基本定理、结论定理1(一元函数的Taybr公式)如果函数在含有的某个开区间内具有直阶的导数,则对任一,有其中=,这里ξ是与之间的某个值。定理2(二元函数的Taybr公式)设在点的某一邻域内连续且有直到阶的连续偏导数,为此邻域内任一点,则有,.其中表示定理3:一元非线性方程求根的牛顿牛顿法设已知方程f(x)=0有近似根(假定f′()≠0,将函数f(x)在点处展开,有f(x)≈f()+f′()(x-),于是方程f(x)=0可近似的表示为f()+f′()(x-)=0这是
3、个线性方程,记其根为+1,则+1的计算公式为(k=0,1,…)2 二元函数的牛顿迭代法设z=f(x,y)在点的某一邻域内连续且有直到2阶的连续偏导数,为此邻域内任一点,则有于是方程f(x,y)=0可近似的表示为即同理设z=g(x,y)在点的某一邻域内连续且有直到2阶的连续偏导数,为此邻域内任一点,则同样有其中于是方程g(x,y)=0可近似的表示为即于是得到方程组求解这个方程组:当时x=y=从而:记符号又可改写为迭代公式为:通过迭代公式可迭代出当k=1,2,…时,的值,当为给定的误差控制项)时,原方程组的根即为。这就是二元函数牛顿(Newton)法。3 方法应用例 给定方程组初始条件取
4、为x=1,y=1,用二元函数牛顿迭代法求此方程组的根。解:令,计算其偏导数如下其代入迭代公式可得:运用matlab程序解得此方程组的根为:x=1.1572e-005y=1.6094f=8.1770e-006g=3.9235e-005i=5分析:初始条件取为x=1,y=1,可以换其他数值检验。说明误差在允许范围内!其迭代次数为5,迭代速度比较快。参考文献:[1] 马东升,雷永军.数值计算方法[M].北京:机械工业出版社,2001.[2] 陈传璋,金福临,朱学炎,等.数学分析(上册)[M].北京:高等教育出版社,1983.[3] 陈传璋,金福临,朱学炎,等.数学分析(下册)[M].北京:
5、高等教育出版社,1983.[4] 李海涛,邓樱.MATLAB程序设计教程[M].北京:高等教育出版社,2004.[5] 刘为国.MATLAB程序设计教程[M].北京:水利水电出版社,2005.
