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1、包头师范学院本科毕业论文题目： 同余方程的解法学生姓名： 学号：专业：数学与应用数学班级:指导教师：李晓冬二〇一年四月摘要：本文论述了同余方程的基本概念及同余方程的一些基本性质与解法，主要对一次同余方程的解法进行了探讨，特别是对一次同余方程的欧拉定理算法，欧几里德算法等七种解法进行了比较与分析，并介绍了同余方程组、孙子定理、素数模的同余方程，模的同余方程的解法。关键词：同余同余方程孙子定理Abstract：Thispapermainlydiscussesthebasicconceptsofcongruenceequationsandcongru
2、enceequationsomeofthebasicnatureofsolution,andhighlightstheRemainderTheorem,solutionofthecongruenceequation,modcongruenceequationsolution,congruenceequationofprimesmodesolution,etc.Keywords:CongruenceCongruenceequationRemainderTheorem目录引言11.同余与同余方程的基本性质21.1同余的概念与基本性质21.2同余方程的
3、概念与性质32.一次同余方程的解法42.1的情况42.2的情况73.同余方程组的解法83.1简单同余方程组的解法83.2孙子定理94.高次同余方程的的解法114.1素数模的同余方程114.2模pa的同余方程12总结：17参考文献18致谢：19引言对于同余方程的解法国内外的数学家们均对其做出了非常全面与细致的研究。在我国古代的数学名著《孙子算经》中就较早的给出了同余方程的算法即著名的“孙子定理”。我国宋代的大数学家秦九詔，也在他的杰作《数书九章》中也对同余方程的解法进行了系统的研究。教材中对于同余方程的解法虽然给出了一些方法，但对其研究还不够全面不
4、彻底。所以对于同余方程的解法进行归纳总结，从而作进一步的研究就显得特别重要。-19-1.同余与同余方程的基本性质1.1同余的概念与基本性质定义1给定一个正整数，如果用去除两个整数所得的余数相同，那么称对模同余，记作；否则，称同余.记作定理1设是一个正整数，是两个整数，则的充要条件是存在一个整数使得定理2模同余是等价关系，即（i）（自反性）对任意整数,；（ii）（对称性）若,则；（iii）（传递性）若,定理3整数同余的充分必要条件是除的余数相同.定理4设一个整数，是四个整数.如果,从而，，定理5若,则定理6设一个正整数，.如果则定理7设一个正整数，
5、,则定理8设一个正整数，,如果整数则-19-定理9设是一个正整数，,如果.定理10设是一个正整数，,,则定理11设是一个正整数，..1.2同余方程的概念与性质定义2设是整系数多项式，称(1)是关于未知数的模的同余方程，简称为模的同余方程。若，则称为次同余方程。定义3设是整数，当时式(1)成立，则称是同余方程的解。凡对于模同余的解，被视为同一个解。同余方程(1)的解数是指它的关于模互不同余的所有解的个数，也即在模的一个完全剩余系中的解的个数。由定义3，同余方程(1)的解数不超过定理12下面的结论成立：(ⅰ)设是整系数多项式，则同余方程(1)与等价；
6、(ⅱ)设是整数，，则同余方程(1)与等价；(ⅲ)设是素数，都是整系数多项式，又设是同余方程(1)的解，则必是同余方程的解。-19-2.一次同余方程的解法定理13同余方程(ⅰ)若有唯一解(ⅱ)若，没有解(ⅲ)若，有个解2.1的情况2.1.1观察法在模的完全剩余系中考虑同余式的解，此方法适用在当模较小时或方程具有特殊形式的一次同余方程里例1：的解为2.1.2欧拉定理算法由欧拉定理有，而可得既得：为所求的解。此解法适合较小或较易求解例2：解解，2.1.3化为不定方程的解法有解存在整数使得。即不定方程有解。此解法对模的要求较低。例3：解解：原方程对应的不
7、定方程为其通解为（对任意的整数），-19-所以2.1.4减小模数的解法对于此时，然后去掉中的倍数不断将模变小此时若有解，则为的解。经过几次转换后一般可以用观察法求解，在递推出原方程的解。此方法适合模数较大的同余方程。例4：解同余式解：原同余式即是：，解同余式：得：，所以原同余式的解是：2.1.5欧几里得算法可借用辗转相除法求整数的最大公因数的方法，结合同余式的性质，可转化为一个形如的同解方程。当利用恒等变形将变小，直至将的系数化为1.若,且模数较大时,可用取余的办法,将变小,然后求出解。例5:解同余式.解:∵, ∴原同余式有1个解。∵,而 ,,。
8、∵,而-19-∴,,即为原同余式的解。若,且中至少有一个数大于m,可根据同余知识,将化小,再用方法去解。例6:解解:∵,∴原同余式化为:
