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1、第26卷第2期周口师范学院学报2009年3月Vol.26No.2JournalofZhoukouNormalUniversityMar.2009质数模的一元同余方程孙宗明(泰山学院数学与系统科学系,山东泰安271000)摘要:讨论了质数模的一元同余方程,研究了根与重根.关键词:质数模;一元同余方程;根;重根;域Zp中图分类号:O156;O15314文献标识码:A文章编号:1671-9476(2009)02-0002-03k本文用数论的方法研究问题,引入重根的定A)fk(x)+phk(x),k1,
2、xSA(modp)不是n-义,证明根的个数定理,并讨论重根概念的等价形k次同余方程fk(x)S0(modp)的根.式等问题,最后在域Zp上重新认识问题.同时,列证因xSA(modp)是f(x)S0(modp)的出了质数模的一元二次同余方程的根的状况.一个根,由引理1.1得到f(x)=(x-A)f1(x)+r1,并且r1S0(modp),从而r1=pk1,f1(x)S1基本概念与引理0(modp)是n-1次的.下面的f(x),g(x),h(x),r(x)等均表示整系若xSA(modp)是f1(x)S
3、0(modp)的一数多项式.个根,则由引理1.1得f1(x)=(x-A)f2(x)+r2,定义1.1若f(x)是n次整系数多项式,且首r2=pk2,f2(x)S0(modp)是n-2次的,从项系数关于质数模p不为0,则称f(x)S0(mod而p)是质数模p的一元n次同余方程.f(x)=(x-A)[(x-A)f2(x)+r2]+r1定义1.2若f(A)S0(modp),则称x=A是2=(x-A)f2(x)+r2(x-A)+r1f(x)S0(modp)的根,称xSA(modp)是f(x)2=(x-A)
4、f2(x)+ph2(x).S0(modp)的一个根.若xSA(modp)是f2(x)S0(modp)的一由根的定义及数论的知识得到3个根,则同上可得f(x)=(x-A)f3(x)+p结论1.1任一个整数均为x-xS0(modph3(x),并且,f3(x)S0(modp)是n-3次的.p)的根,从而该同余方程有p个根.如此下去,最后可得,定义1.3若f(x)S0(modp)与g(x)Skf(x)S(x-A)fk(x)+phk(x),0(modp)的根完全相同,则称二者等价.并且,fk(x)S0(mo
5、dp)是n-k次的,xSA(mod引理1.1若xSA(modp)是n次同余方程p)不是fk(x)S0(modp)的根.xf(x)S0(modp)的一个根,则f(x)S(x-定义1.4若f(x)S0(modp)是n次同余方A)g(x)+r,且g(x)S0(modp)是n-1次的,rSk程,f(x)S(x-A)fk(x)+phk(x),并且,k1,0(modp).fk(x)S0(modp)是n-k次同余方程,xSA(mod证容易得到f(x)=(x-A)g(x)+r,且p)不是fk(x)SA(modp
6、)的根,则称xSA(modg(x)与f(x)的首项系数相同,从而g(x)Sp)是f(x)S0(modp)的k重根.0(modp)是n-1次的.当x=A时,r=f(A)S2根的个数0(modp).x结论1.2若xSA(modp)是n次同余方程定理2.1若k重根以k个根计算,则一元n次f(x)S0(modp)的一个根,则f(x)S(x-同余方程至多有n个根.收稿日期:2008-06-20作者简介:孙宗明(1945-),男,山东嘉祥人,教授,主要从事代数学有限域与有限群研究.第26卷第2期孙宗明,等:质
7、数模的一元同余方程3k证对次数n 用数学归纳法.-A)g(x)(modp)对任意的x成立,且xSA(mod当n=0时,没有根,结论成立.p)不是g(x)S0(modp)的根;当n=1时,由数论知识得,有且仅有一个根,3)存在n-k次多项式g(x),使f(x)S(x-k结论成立.A)g(x)(modp)对任意的x成立,而对于任意的n设对于n-1次同余方程成立,考虑n次同余方-k-1次多项式h(x),f(x)S(x-k+1程f(x)S0(modp).A)h(x)(modp)不是对任意的x成立.若f(
8、x)S0(modp)没有根,则结论成立.证1)]2).当1)成立时,由定义1.4知,k若f(x)S0(modp)有根,任取其一个根xSf(x)=(x-A)fk(x)+phk(x),A(modp),则有f(x)S(x-A)f1(x)+r1,由引理并且,fk(x)是n-k次多项式,xSA(modp)不是1.1知,r1S0(modp),从而f(x)S(x-fk(x)S0(modp)的根,取g(x)=fk(x),则kA)f1(x)(modp)对任意x成立,f1(x)S0(modf(x)S(
