2011-2012试卷a_线性代数

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1、试卷序号：　　　　　　　班级：　　　　　　　　　学号：　　　　　　　　　　姓名：　　　　　　　　　

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29、2011~2012学年第一学期期末考试线性代数试卷（A）答题时间120分钟题号一二三四五总分阅卷教师得分阅卷教师得分一、　　　选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)1、按自然数从小到大为标准次序，则排列的逆序数是（B）A．B．C．D．2、设有三个矩阵、和，则下列矩阵运算中有意义的是（B）A．B．C．D．3、下列选项正确的是（C）A．若方阵，则必有B．若方阵满足，则C．若方阵、满足，则有或D．对方阵、，总有成立4、设有的矩

30、阵，则齐次线性方程有非零解的充分必要条件是（A）A．B．C．D．5、设是三阶矩阵，是的伴随矩阵，若，则（B）A．B．C．D．6、设n阶矩阵A为正交矩阵，则必有（D　）A．B．C．D．二、　阅卷教师得分填空题(本大题共6小题，每小题4分，共24分)1、设4阶行列式，则，其中是的代数余子式。2、设方阵满足，则，其中是单位阵。3、当时，向量与的内积为3。4、已知4阶矩阵、相似，且的特征值为，则5、设向量、线性相关，则，6、矩阵对应的实二次型3阅卷教师得分三、　计算题(本大题共3小题，每小题8分，共24分)1、计算n阶行列式，其中。解：（2分）（4分）（2分）注：可有多种方法，利用其他方法求解

31、，但结果错误的，根据解答情况酌情给分。2、已知，，求解矩阵方程。解：整理方程可得，即（2分），由于～（3分）因此（1分），计算得（2分）注：也可用伴随矩阵法求逆；写出求解过程但结果错误者，根据解答情况酌情给3～5分。3、已知矩阵，求的列向量组的秩和一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示。解：～（4分）向量组的秩为2（1分）为一个最大无关组（1分），，（2分）阅卷教师得分四、　　证明题(本大题共10分)已知向量组线性无关，且，，，，证明向量组线性无关，其中，为任意实数。证明：设有常数使（1分），即（2分）整理得（3分）由线性无关得（2分）即无论为何值，都得，故线性无关。（2分

32、）注：多种解法，表述清楚即可得分。3阅卷教师得分五、　讨论题(本大题共2小题，每小题12分，共24分)1、已知非齐次线性方程组，问取何值时，方程组有唯一解，无解，有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解。解：对增广矩阵作初等行变换化为行阶梯形矩阵～（3分）（1）若使，则须保证，即：当时，方程组有唯一解；（2分）（2）当时，的行阶梯形为，此时，，故方程组无解；（2分）（3）当时，的行阶梯形为～此时，方程组有无穷多解（2分）。为求解，继续化行最简形，取，为自由未知数，为非自由未知数，则令，从而得方程组的通解为，其中为任意常数。（3分）注：本题有两种解题方法：行列式或初等行变换，若方法正确，但计

33、算过程出现错误，可根据解答情况酌情给分。2、设矩阵，问取何值时，矩阵能相似对角化？此时求可逆阵和对角阵，使。解：特征多项式故的特征值为（3分）当时，解方程组，由～（2分）得线性无关的特征向量为个，解得（1分）。为使能相似对角化，则需对应的线性无关的特征向量应为个，即，由～～得当时，能相似对角化（2分）。此时，解方程组得基础解系，。（2分）综上得所求矩阵为，（2分）注：基础解系不唯一，特征值特征向量需对应；若结果错误，则根据解题过程酌情给分。3