计算机模拟在数学建模中的应用

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1、井冈山大学大学生创新性实验计划项目计算机模拟在数学建模中的应用（2010.11~2011.11）指导老师：邓志云副教授成员：赵愈旭吴德龙刘波叶启斌7171目录一、计算机模拟建模概述1（一）计算机模拟的定义与特点1（二）计算机模拟模型的建立方法2（三）计算机模拟的应用4二、系统数学模型7（一）系统数学模型7（二）连续系统的数学模型71、微分方程72、传递函数83、状态空间表达式84、系统结构图9（三）离散系统的数学模型91、差分方程92、状态空间表达式103、Z函数104、结构图表示11三、连续系统的计算机模拟12（一）数值积分法121、数值积分的几个基本概念1

2、22、欧拉（Euler）法133、龙格—库塔(Runge—Kutta)法154、变步长的龙格—库塔法175、线性多步法18（二）连续系统模拟及模拟程序方法211、连续系统模拟简述212、模拟程序设计方法22（三）计算机模拟算法的MATLAB实现231、数值积分法解常微分方程的MATLAB实现232、其他求解问题的MATLAB实现23（四）典型连续系统模拟实例261、传染病的传播模型262、商品广告模型293、追逐问题模型32四、离散事件系统的计算机模拟37（一）离散事件系统的基本要素37（二）离散事件系统的模型371、到达模型372、服务模型373、排队模型3

3、8（三）典型离散事件系统的模拟381、排队系统模拟38712、库存系统模拟47（四）随机数与随机变量的生成531、均匀分布随机数532、随机变量的生成533、随机数字和随机变量生成的MATLAB实现55五、模拟结果的校核、验证与确认58（一）VV&A的基本概念58（二）VV&A的一般原则59（三）VV&A技术与主要方法611、系统模型校核的常用方法612、系统模型验证的常用方法62参考文献7071一、计算机模拟建模概述计算机模拟是介于运筹学、数理统计与计算机科学等学科之间的一门边缘学科。它利用计算机对系统或过程进行动态仿真，以安全和经济的方法获得动态运行的数量

4、结果，为我们提供可靠的决策依据。因此，它已成为系统分析、战略研究、运筹规划和预测、决策的强有力工具。在历届的美国和中国大学生数学建模竞赛（MCM）中，学生们经常用到计算机模拟方法去求解、检验等。计算机模拟（computersimulation）是建模中较为重要的一类方法。本项目将讨论如何利用计算机技术对连续系统和离散系统进行模拟。由于计算机模拟以重复性运算见长，故它为研究模拟方法提供了极为合适的手段。计算机模拟是一种极为广义的数值计算方法。通过本项目的研究，我们将了解蒙特卡洛方法的思想；掌握对连续系统或离散系统进行模拟的方法；掌握由实际问题怎样建立计算机模拟模

5、型以及应用MATLAB编程语言进行计算。（一）计算机模拟的定义与特点在实际问题中，大量问题很难用数学模型来描述，或有些问题虽建立起了数学模型，但由于模型中随机因素很多，难于用解析的方法求解，这时就需要借助于模拟的方法。例如对于一些带随机因素的复杂系统，用分析方法建模常常需要做许多简化假设，与面临的实际问题可能相差甚远，以致解答根本无法应用，这时模拟几乎成为人们的唯一选择。模拟又称为仿真。它的基本思想是建立一个试验的模型，这个模型包含有所研究的系统中的主要特点。通过这个实验模型的运行，获得所要研究系统的必要信息。一些较简单的问题可以用手工的方法求解，而比较复杂的

6、问题则要借组计算机来进行模拟计算。计算机科学技术的迅猛发展，给许多学科带来了巨大的影响。计算机不但使问题的求解变得更加的方便、快捷和精确，而且使得解决实际问题的领域更加广泛。计算机适合于解决那些规模大、难以解析化以及不确定的数学模型。在一定假设条件下，利用数学运算模拟系统的运行，也可称为数学模拟，现代的数学模拟都是在计算机上进行的，因此称为计算机模拟。计算机模拟是一种人造的实验手段。通过模拟，我们能够对所研究的对象进行类似于物理、化学实验那样的实验，并根据实验数据估算研究对象各种期望的真实特征。它和在现实系统中进行实验的主要区别在于模拟实验依据的是被研究对象的

7、模拟模型以及相应的人造环境，所借助的实验工具是计算机的数值计算与逻辑判断两大功能。由于计算机运行速度高，在很短的时间内即可完成成千上万次的“实物实验”。从而使问题得以轻松解决。与其他一些定量分析相比，计算机模拟技术还有以下几个方面的特点：（1）模拟时间的可伸缩性。使用模拟技术可以把几个月甚至几年的客观系统的活动在几分钟甚至几秒钟内模拟出来。另外，通过适当的安排，模拟也可以对真实系统中变化的细微情节“放宽时间”进行研究。71（2）模拟运行的可控性。在模拟模型运行过程中，可以根据需要随时暂停模型的运行，并得到暂停运行时的各项数据，以取得系统发展中任一阶段的有关信息

8、，并且不会影响最终的实验结果。（3）模