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《helmholtz方程外边值问题的自然边界元法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、Helmholtz方程外边值问题的自然边界元法第12卷A辑第3期1997年9月高校应用数学App1.Math.一JCUV0l_12Ser.ANO.3September1997......'''....——'研究简报l窑Helmholtz方程外边值问题的自然边界元法LLf,李瑞遐L一.0～一一4(华东理I大学数学系)摘要本文利用Foutier展开获得j圆外区域上Helmholtz方程边值问题的Poisson积分公式和积分方程,并用Galerkin法求积分方程的解,导出j刚度矩阵元素的计算公式,讨论j数值技术
2、,鳍出j变分解的唯一性定理和近似解的误差估计-关键词分类号Hel__mho!tz杰琶,至垂苎二Gakrkin法(中囝)O241.82;(1991MR)65N38.§1圆外区域上的积分方程针伍力垒应设r是中心在坐标原点半径为R的圆,n是以r为边界的外部区域,考虑二维Helmholtz方程外Dirichlet同题/xu+"一0,在内.(1)"=,在r上,(2)带有Sommerfeld幅射条件一iku—D(r一÷),一.c,(3)其中i—二1,≠0,选取k的符号使得Im(k)≥0,若Im(k)一0,取k>
3、0,=+.外Neumann问题的边界条件是*本文1995年6月8日收到.1997年1月9日收到修改稿370高校应用数学第12卷A辑一在r上,(4)其中一是n的边界r的外法线方向,即指向由r包围的内部区域.在平面极坐标系里,应用Fourier展开,问题(1)一(3)的解可表示为u(r,)一Pu0(),r>R,(5)其中积分箅子P定义为(∞一1量Gl(kR,.sn(0--6')],r>R,(6)G(,)一日()/日(1]),一0,1,….(7)(5)式称为圆外Helmholtz方程边值问题的Poi
4、sson积分公式,P称为Poisson积分箅子,日(2)是第一种Hankel函数.在()式中对r求导,并令r—R+0就得到对应于圆外区域Neumann问题的积分方程Ku(O)一(),(8)其中()表示u(r,)在边界r上的值,即u(R,),K是积分算子,～皇日lHl(kR枷～)],(9))一)一一詈一一.(10)从Hankel函数的级数表达式(见[1]中7.5节(21)式和7.6节(5)式),我们得到:当一..,有"(z)一一(詈)1+兰(号).+0(杀)),(1)G.(kR,)一()1+0()),(12
5、))(1+O,1))(13)从而(9)式中的级数是发散的,该级数应理解为在广义函数意义下求和,积分也应理解为广义函数理论中积分的有限部分(见[幻).一旦求得积分方程(8)的解,由(5)式就得到外Neumann问题的解.§2Galerkin法设∈日一i(r),则与(8)相对应的变分问题是:求"∈日i1(r),使得6,)一(",),V∈日{(r),其中(口)一『毗,6("一(K.显然6(',')是对称的双线性形式,还可以证明它是连续的.定理1若∈H一{(r),则变分问题(14)有唯一解.(14)(15)第3期
6、李瑞遐:Helmholtz方程外边值问题的自然边界元法371证明设∞∈Hi(r),记u(r,)=Pw(8),则u(r,)满足方程(1)和幅射条件(3),u(R,)=∞().记仃d一{(,)l<+<d.},={(,)l+=d.},在区域上对函数和应用Green第一公式就得到吉川+)ds+Im(k)fo(IVu.叫:一ImfI掌s);Im(一(,)).从Rellieh定理(见[33中引理3.11)可知,当Ira(k)≥O,若≠0,则上式左边大于零.于是若()≠0,Im(一(∞,面))>0.为
7、了求变分问题(14)的近似解,假设把[o,2司等分成Ⅳ个子区间,即将圆r剖分为Ⅳ个单元,记h一2~r/N,井假设在r上共取了m个节点,节点i所对应的角度为,设()为局部插值基函数,∈H(r),定义()=∑u~qq(E),V(r)一Span{'.I?,},(16)()是()的插值函数,畸表示()在节点i的值,(r)亡H{(r).与(14)相对应的离散变分问题是;求∈V(r),使得(,矿)=《,矿>,V矿∈V(r),(17)上式产生线性代数方程组Az=g,其中=1,…,"],%=bG5,假),毋一{,假
8、).(18)从定理1的证明可知Im(一A)是正定矩阵,从而A是非奇异的对称矩阵,方程组有唯一解.求出节点值后,由(5)式就得到外Neumann问题的一个近似解(r,)=∑,尸毋(),r>足(19)关于误差估计我们得到下面的定理.定理2的证明类似于[2]中定理1.16,定理3说明n内的误差被r上误差控制.一.瑚E理2设"是变分问题(14)的解,是离散变分问题(17)的解,若(r)是由分段的J次多项式构成(J≥1)并且∈H(
