分离变量法求解齐次方程和齐次边界的拉普拉斯方程的边值问题2

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1、分离变量法求解齐次方程和齐次边界条件的拉普拉斯方程的边值问题33隋沆锐34程文博29袁盼盼分离变景法乂称fourier级数法，足求解数学物理定解问题问题的-•种最普遍最基本的方法之一。从数学的角度米说，其基本的思想是降低A变跫的维数，把偏微分方程问题设法变成能解的常微分问题。•分离变量法的主要步骤：(1)根据区域边界的形状，适当选择叱标系。选取的原则足使叱标而与边界而•-•致，这样可使边界条件简化，即使在该坐标系中边界条件的表达式玷为简单。(2)将满足齐次偏微分方程和齐次边界的解通过变量分离，使其转化为常微分方程的定解问题。(3

2、)确定特征指和特征闲数。当边界条件楚齐次吋，求特征饥和对应的特征阑数就足求一个满足常微分方程和零边界条件的非零解。(4)定!11特征值和特征函数冉求艽他常微分方程的解，然后把该解与特征函数相乘,得到变量分离的特解。(5)为了得到原定解fuj题的解，将所有变量分离的特解叠加成级数，成为形式解，其中任意常数有其他条件确定。(6)为了使形式解成为古典解，必须对定解条件附加适当的光滑性要求和相界性要求，以保证微分运算得以进行，弁使微分后的级数任然足收敛的。參用分离变量法解拉普拉斯方程的边值问题常用的结论和规律：1•设/00，/•⑺，…，

3、/"⑺在区M【0,L】上连续，.广+1⑼在【0,L】上分段连续，r(0)W)=0,"=0,2…令］，其中【X】表示不超过X的最大整数。那么，如果函数f(X)在区间【0,L】上可以张开傅里叶正弦级数/(x)〜乞bnsin手，xe[0，jL]，(1)/:=!Loo则级数

4、是收敛的。类似的，如果/(x)迕［0，L］上可以展开成傅电叶余弦级数z/=l/(X)〜令+玄Xcos芋，xe［0，L］，⑵2?j=iL则级数I人I是收敛的。这甩n=laf)=—/(x)cos-^^=0,1,2,....Lo/L/?..=—[/(x)sin^^-dx

5、,n=0,1,2…e~aycosaxda=sinx=eix+2e-e,cos«x=2icosaxdx4^-24be2.给出拉咎拉斯方程二维极飧标边值齐次方程：urr+—wr+—=0(0

6、0=0，0

7、0fiTibg(x)=u(x，b)=<70+bbo+zz=lanea+bneaao=—

8、f、x、dx,aczo+bbo=—g(x)dx,aJoa

9、n+bn=—[/(x)cosdx,aJ(}aH7D：H7D：cosnJix,2zxn7ix.anea+bnea=—g(x)cosax.从中可以定出&11加（11=0，1,2...），从而得到边值问题（1）的级数形式解（5）我们取a=b=龙，f（x）=x，g（x）=0;贝ij71aoxdx—Un+bn2cos腿Zr=4-((一1，一1)ao+b()7T=0,anenn+bne~n7r=0.nn解得bo2m)cineln7C,ti=1，2，..代入式（5），得到所求的解为=+Sinh/^~}0COSZU27r^nsinhnzr题目

10、2:关于圆的Neumann问题考虑尚的Neumann问题Airsla/7Il