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1、函数的极值与导数导数及其应用一、复习求函数单调性的一般步骤（1）、求函数的定义域;（2）、求函数的导数f/（x）;（3）、解不等式f/（x）＞0得f(x)的单调递增区间;解不等式f/（x）＜0得f(x)的单调递减区间.二、新课讲解1.观察右下图为函数y=2x3-6x2+7的图象,从图象我们可以看出下面的结论:函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(2)是函数的一个极小值。x2yooaX1X2X3X4baxy如图，函数y=f（x）在x1，x2，x3，x
2、4等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y=f（x）在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y=f（x）的导数的符号有什么规律？2.探索思考：结论:若x0满足f/(x)=0,且在x0的两侧的导数异号,则x0是f(x)的极值点,f(x0)是极值.如果f/(x)在x0两侧满足“左正右负”,则x0是f(x)的极大值点,f(x0)是极大值;如果f/(x)在x0两侧满足“左负右正”,则x0是f(x)的极小值点,f(x0)是极小值.极大值与极小值统称为极值.从曲线的切线角度看,曲线在极值点处切线的斜率为0,并且,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负;曲线
3、在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正.oaX1X2X3X4baxy三、例题选讲:例1:求y=x3/3-4x+4的极值.解:令,解得x1=-2,x2=2.当x变化时,,y的变化情况如下表:x(-∞,-2)-2(-2,2)2(2,+∞)y’+0-0+y↗极大值28/3↘极小值-4/3↗因此,当x=-2时有极大值,并且,y极大值=28/3;而,当x=2时有极小值,并且,y极小值=-4/3.方法：1、求2、令，求出零点、、……等3、列表判断极大值和极小值极大值极小值无极值2、求函数的极值.练习1、求函数的极值.x(-∞,-a)-a(-a,0)(0,a)a(a
4、,+∞)f’(x)+0--0+f(x)↗极大值-2a↘↘极小值2a↗故当x=-a时,f(x)有极大值f(-a)=-2a;当x=a时,f(x)有极小值f(a)=2a.2、求函数的极值.解:函数的定义域为令,解得x1=-a,x2=a(a>0).当x变化时,,f(x)的变化情况如下表:四.探索思考:导数值为0的点一定是函数的极值点吗?可导函数的极值点一定是它导数为零的点，反之函数的导数为零的点，不一定是该函数的极值点。例如，函数y=x3，在点x=0处的导数为零，但它不是极值点，原因是函数在点x=0处左右两侧的导数都大于零。因此导数为零的点仅是该点为极值点的必
5、要条件,其充分条件是在这点两侧的导数异号。x0(0,4)4—0+0—↘极小值↗极大值↘例2:已知函数f(x)=-x3+ax2+b若函数f(x)在x=0,x=4处取得极值,且极小值为-1,求a、b的值。解:依题意得令得x=0或x=2a/3。故2a/3=4,即a=6。故当x=0时,f(x)达到极小值f(0)=b,所以b=-1。练习1:已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10,求a、b的值.解:=3x2+2ax+b=0有一个根x=1,故3+2a+b=0.①又f(1)=10,故1+a+b+a2=10.②由①、②解得或当a=-3,b=3时
6、,,此时f(x)在x=1处无极值,不合题意。当a=4,b=-11时,-3/111时,,此时x=1是极值点。从而所求的解为a=4,b=-11。理解函数极值的定义时应注意以下几点:(1)函数的极值是一个局部性的概念,极值点是区间内部的点而不会是端点.(2)若f(x)在某区间内有极值,那么f(x)在某区间内一定不是单调函数,即在区间上单调的函数没有极值。(3)极大值与极小值没有必然的大小关系,即极大值不一定比极小值大,极小值不一定比极大值小。(4)函数f(x)在某区间内有极值,它的极值点的分布是有规律的,相邻两个极大值点之间必有一个极小值点
7、,同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点.一般地,当函数f(x)在某区间上连续且有有限极值点时,函数f(x)在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的.(5)导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充分条件。作业&小结
