函数的极值与导数

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1、1.3.2　函数的极值与导数1．下列函数存在极值的是(　　)．A．y＝B．y＝x－exC．y＝x3＋x2＋2x－3D．y＝x3解析　A中f′(x)＝－，令f′(x)＝0无解，且f(x)为双曲函数，∴A中函数无极值．B中f′(x)＝1－ex，令f′(x)＝0可得x＝0.当x<0时，f′(x)>0；当x>0时，f′(x)<0.∴y＝f(x)在x＝0处取极大值，f(0)＝－1.C中f′(x)＝3x2＋2x＋2，Δ＝4－24＝－20<0.∴y＝f(x)无极值，D也无极值．故选B.答案　B2．函数y＝1＋3

2、x－x3有(　　)．A．极小值－1，极大值1B．极小值－2，极大值3C．极小值－2，极大值2D．极小值－1，极大值3解析　f′(x)＝－3x2＋3，由f′(x)＝0可得x1＝1，x2＝－1.由极值的判定方法知f(x)的极大值为f(1)＝3，极小值为f(－1)＝1－3＋1＝－1，故选D.答案　D3．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　)．A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值

3、点解析　f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值，f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值，由图象易知有两个极大值点，两个极小值点．答案　C4．设方程x3－3x＝k有3个不等的实根，则常数k的取值范围是________．解析　设f(x)＝x3－3x－k，则f′(x)＝3x2－3.令f′(x)＝0得x＝±1，且f(1)＝－2－k，f(－1)＝2－k，又f(x)的图象与x轴有3个交点，故∴－2

4、当x＝________时取得极小值________．解析　y′＝()′＝＝.y′＞0⇒x＞2，或x＜0，y′＜0⇒0＜x＜2，且x≠1，∴y＝在x＝0处取得极大值0，在x＝2处取得极小值4.答案　0　0　2　46．求函数f(x)＝x2e－x的极值．解　函数的定义域为R，f′(x)＝2xe－x＋x2·e－x·(－x)′＝2xe－x－x2·e－x＝x(2－x)e－x.令f′(x)＝0，即x(2－x)·e－x＝0；得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0,

5、2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)极小值0极大值4e－2因此，当x＝0时，f(x)有极小值，并且极小值为f(0)＝0;当x＝2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(2)＝4e－2＝.7．函数f(x)＝2x3－6x2－18x＋7(　　)．A．在x＝－1处取得极大值17，在x＝3处取得极小值－47B．在x＝－1处取得极小值17，在x＝3处取得极大值－47C．在x＝－1处取得极小值－17，在x＝3处取得极大值47D．以上都不对解析　f′(x)＝6x2－12x－18，令f′(x)＝0，解得x

6、1＝－1，x2＝3.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值∴当x＝－1时，f(x)取得极大值，f(－1)＝17；当x＝3时，f(x)取得极小值，f(3)＝－47.答案　A8．三次函数当x＝1时有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是(　　)．A．y＝x3＋6x2＋9xB．y＝x3－6x2＋9xC．y＝x3－6x2－9xD．y＝x3＋6x2－9x解析　三次函数过原点，可设f(x)

7、＝x3＋bx2＋cx，则f′(x)＝3x2＋2bx＋c.由题设有解得b＝－6，c＝9.∴f(x)＝x3－6x2＋9x，f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)．当x＝1时，函数f(x)取得极大值4，当x＝3时，函数取得极小值0，满足条件．答案　B9．函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋3既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________．解析　∵f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，令3x2＋6ax＋3(a＋2)＝0，即x2＋2ax＋a＋2＝0，∵函数f(x)有

8、极大值和极小值，∴方程x2＋2ax＋a＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a2－4a－8＞0，解得a＞2或a＜－1.答案　(－∞，－1)∪(2，＋∞)10．函数y＝x3－6x＋a的极大值为________，极小值为________．解析　∵y′＝3x2－6，令y′＝0，得x＝±，当x＜－或x＞时，y′＞0；当－＜x＜时，y′＜0，∴函数在x＝－时取得极大值a＋4，在x＝时取得极小值a－4.答案　a＋4　a－411．已知函数y＝ax3＋bx2，当x＝1时函数有极大值3，(1)求a，