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《第二章：随机变量及其分布》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、思考题：1．有种不同类型的票券,每次只能得到一张,这些票券是相互独立的,以概率有第类型,.设表示得到每种类型至少一张所需的数.计算.提示：用例1e类似的方法求解.2．运用概率的连续性质计算.3．试用的分布函数表示.4．若有分布函数,问的分布函数是什么？5．若有分布函数,问随机变量的分布函数是什么？其中与是常数,.6．对任一非负随机变量,证明提示：交换和的次序即得.7．对任一非负随机变量,证明提示：交换和的次序即得.8．设满足当时,计算.9．随机变量,数学期望为,方差为.计算的数学期望与方差.10．设是以为参数的二项随机变量,证明71．考虑个独立的连续
2、试验,成功的概率为,如果有次成功,试证明次成功次失败共有种可能排列.2．某线性系统共有个元件,每个元件以概率独立运行,试问个相邻元件都不运行的概率是多少？提示：以有缺陷的元件数为条件,用第一章例4c的结论来解.3．设是以为参数的二项随机变量,怎样的值能使,,取到最大？这是一个当以为参数的随机变量的观测值为时,利用统计方法去估计的例子.如果假定是已知的,我们选取使达到极大值的作为的估计值.这种方法称为极大似然估计.4．一个家庭有个子女的概率为,其中,试问（a）没有孩子的家庭占多大比例？（b）如果每个孩子为男孩或女孩是等可能的（且相互独立）,那么有个男孩
3、（不管有几个女孩）的家庭占多大比例？5．一硬币抛出正面的概率为,先将它独立地抛次.试证出现偶数个正面的概率为,其中,可先证明等式其中是不大于的最大整数,然后利用此等式来证明结论.试将这个习题与第三章理论习题17作一比较.6．设是参数为的泊松随机变量,试证当增大时,先是单调递增、然后单调递减,并当等于不超过的最大整数时取到最大值.提示：考虑.7．设是参数为的泊松随机变量.（a）证明利用理论习题15和泊松与二项随机变量的关系来证明.（b）运用的展开式直接验证上述结论.8．设是参数为的泊松随机变量,试问对任意固定的,取何值使7达到最大值.1．设是参数为的泊
4、松随机变量,试证利用此结论计算.2．考虑枚硬币,每次独立地出现正面的概率为.若很大,很小,令.假定抛枚硬币,至少出现次正面试验结束,若没有,则继续试验.也就是说,枚硬币至少一枚出现正面第一次试验停止.设表示正面出现的次数.下列求的哪一个是正确的.（a）抛枚硬币出现正面的总数近似为参数为的泊松随机变量，（b）抛枚硬币出现正面的总数近似为参数为的泊松随机变量，只有此总数是正的我们才停止试验,（c）至少一枚硬币出现正面,若其余枚硬币再没有一枚出现正面则.因为枚硬币出现正面的次数近似为参数为的泊松随机变量.3．令表示第人与第人生日相同的概率的事件.假定随机选
5、出的个人,每个人都可能在一年中的中任何一天过生日,试求（a）；（b）；（c）4．箱中有个球,其中个编号为,个编号为,个编号为.现无放回地每次连续取出个球.设表示一次取出的个球编号相同.（每次没有取出编号相同的球,则等于无穷大）.对,试证为证明此结论,令表示前次取出编号相同的球的次数,.（a）讨论很大时,可看作是（近似）次独立试验成功的次数.（b）若很大时,试求.（c）给出,试验证极限概率.71．假定某时期事件发生的次数是参数为的泊松随机变量.如果每一个发生了的事件被计数的概率为,而且事件是否被计数是相互独立的,试证被计数的事件个数是参数为的泊松随机变
6、量.并且给出这一结果的直观解释.作为上述结果的一个应用,假定某个给定区域内铀矿的个数是参数为的泊松随机变量,在某固定时期,独立地找到每一个矿的概率为,试求在这段时间内下列事件发生的概率（a）正好找到一个矿,（b）至少找到一个矿（c）至多找到一个矿.2．试证提示：运用分部积分法.3．设为几何随机变量,试用分析方法证明并利用几何随机变量的含义对上式为什么成立给出一个口头说明.4．设是参数为的负二项随机变量,是参数为的二项随机变量,试证提示：可用分析方法证明,上述结论等价于也可利用随机变量的概率解释来证.也就是说,后一种情形是考虑一列独立试验成功的概率为的
7、事件,运用这些事件的结果表示与.5．对一个超几何随机变量,试求6．编号为至的球放在一个箱中,假定从中无放回地随机取出个,,以表示被取出的球的最大编号.（a）求的概率质量函数.（b）导出的表达式,并利用费马组合恒等式（第一章理论习题11）验证.7．坛中有编号为的木块.先从中取出块,在被取出的木块中,以表示其编号比所有未取出的木块编号都大的木块个数,试求的概率质量函数.8．坛中有块木块,假定某人从坛中不断地取出一个木块,每次取出一个后放回,再取下一个.这样连续进行直到他取出先前已被取出过的一个木块为止.以表示他取木块的次数,试求的概率质量函数.9．利用（
8、8.5）式证明（8.6）.71．试证当很大时,2．箱中最初有一个红球一个蓝球,随机取出一球,然后再放入一个颜
