第4章 概率与概率分布

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1、第4章概率与概率分布本章的主要目的：n掌握随机事件的含义、事件的概率计算方法及其运算法则；n掌握随机变量的含义及正态分布、二项分布、泊松分布的特性及应用。n了解大数定律及中心极限定理的含义。4.1概率基础这节主要内容是随机事件、概率的含义、概率的运算规则等。有人说：如果一艘船即将沉没，一个著名的规则就是，救生艇会先载满妇女和小孩。我们先看在1912年4月15日（星期一）沉没的泰坦尼克号上的死亡人数表，这条规则是否被遵守？男人妇女男孩女孩总计幸存3323182927706死亡136010435181517总计169242264452223从本章起，我们将用样本数据来对

2、总体做一些推论（或结论）。那些推论中有很多将在事件概率的基础上得到。统计学家一般这样认为：如果某种解释基于非常小的概率，他们就拒绝这种解释，小概率事件法。1.随机事件我们的现实生活中有两类不同的现象：确定性现象和随机现象。随机现象是指在一定条件下可能发生也可能不发生的现象。随机现象通过大量的观察会发现其有明显的统计规律性，这个观察的过程叫试验，试验有三个条件：试验可以在相同条件下重复进行；试验的所有可能结果是明确可知的；每次试验之前不能肯定哪一个结果会出现。随机试验的每一个可能的结果称为随机事件，简称事件；若一个事件不可能再分解为更简单成分的结果或事件，就称之为基本

3、事件或简单事件（样本点）；基本事件的全体（全集）称为样本空间Ω；由某些基本事件组合而成的事件（子集）称为复合事件。必然事件和不可能事件不是随机事件，但可以作为随机事件的两个极端情形来处理。实例一：掷骰子观察点数的试验。掷一个骰子和两个骰子。2.随机事件的关系和运算随机事件之间通常有一定的联系。⑴事件的包含与相等。若事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B包含事件。⑵事件的并（和）。事件A与事件B至少有一个发生。A+B或A∪B。⑶事件的交（积）。事件A与事件B同时发生。AB或A∩B⑷事件的差。事件A发生而事件B不发生。A-B。⑸互不相容（互斥）事件。事件A和事件B不能

4、同时发生。AB=φ。⑹补（逆、对立）事件。样本空间中所有不属于事件A的样本点组成的事件。实例二：抽零件。3.事件的概率随机事件发生可能性大小的数值称为随机事件的概率。我们将学习三种定义概率的方法。n概率的古典定义。假设一个已知过程包括n种不同的基本事件，那些基本事件中的某一个发生的可能性都是相同的。如果在这n种方式中有m种是属于事件A的，那么P（A）=m/n。这里要强调指出两个共同的特点：有限基本事件（可能结果n）；各结果出现的可能性相同。实例三：书中例4-1；例行4-2。n概率的统计定义：相对频数近似。对一个过程观察许多次，计算出事件A实际发生的次数。基于这些实际

5、结果，P（A）可按公式“P（A）=A发生的次数/试验重复的次数”7来估计。大数法则告诉我们当观测的次数增加时，相应的估计就趋近于精确的概率。当一个过程一次又一次地重复时，一个事件的相对频数概率就趋近于实际概率。也就是说只有很少试验的概率估计可能与真实数值背道而驰，但如果基于很多的试验，估计就会更精确。n概率的主观定义。人们根据自己的经验和所掌握的有关信息，对事件发生的可能性大小给以主观的估计。如教师对学生考取大学的判断；计算一个随机选择的人在今年将被闪电击中的概率。4.概率的性质任何事件数学上的概率都是0、1或位于0与1之间的一个数字。建议：当表达一个概率值时，要么

6、给出一个确切的分数或小数，要么将最终十进制的结果四舍五入到3位有效数字。概率有如下性质：n对任一随机事件A，有0≤P（A）≤1；n一个不可能事件的概率为0；n一个必然事件的概率为1；n对于两两个互斥的随机事件Ai（i=1，2，…），则有P（A1+A2+…）=P（A1）+P（A2）+…。要理解，一个概率接近于0的值反映的是那些非常不可能的事件，而那些接近于1的值反映的是非常有可能发生的事。5.概率的运算法则n概率的加法公式。对任意两个随机事件A、B，有P（A+B）=P（A）+P（B）–P（AB）要计算事件A发生或事件B发生的概率时，计算A能够发生的所有方式的个数和B能

7、够发生的所有方式的个数，但没有结果被计算多次。文氏图显示。实例四：书中例4-3；例4-4。课堂练习一：假设从2223名登上泰坦尼克号的乘客中随机地选出一人，请计算P（选出了一个男人或一个男孩）；P（选出了一个男人或一个幸存者）。n概率的乘法公式。对任意两个随机事件A、B，有P（AB）=P（A）P（B︱A）这里P（B︱A）是条件概率，指在事件A已经发生的条件下事件B发生的概率。两个事件A和B，如果一个的发生不影响另一个的发生概率，就称这两个事件是独立的，也就意味着P（B）=P（B︱A）或P（A）=P（A︱B）；否则就是非独立的。实例五：书例4-5；例4-6。一般地